Triangle de Pascal
Le triangle de Pascal se génère ici jusqu'à la ligne 60 : chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus, et la ligne n donne les coefficients de (a + b)ⁿ. Pour n = 6, c'est 1 6 15 20 15 6 1 – avec la formule du binôme développée et les principales propriétés.
Exemple : Ligne n 6 · Formule du binôme: (a + b)ⁿ → Ligne n : 1 6 15 20 15 6 1. Source : Wikipedia – Pascalsches Dreieck. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Le triangle de Pascal est un tableau de nombres où chaque terme est la somme des deux termes situés juste au-dessus, avec des 1 sur les bords. La ligne 0 est 1, la ligne 1 est 1 1, la ligne 2 est 1 2 1, la ligne 3 est 1 3 3 1, etc. Les termes sont les coefficients binomiaux « n parmi k ».
À quoi sert-il ?
- Binôme de Newton : la ligne n contient les coefficients de (a + b)ⁿ. Avec 1 3 3 1, on obtient (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Pour (a − b)ⁿ, les signes alternent.
- Somme des lignes : la ligne n totalise 2ⁿ – par exemple 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴.
- Probabilités : « n parmi k » dénombre les façons de choisir k éléments parmi n, par exemple au lancer de pièces ou au loto.
- Suite de Fibonacci : en additionnant les diagonales obliques, on obtient 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
Comment fonctionne l'outil
Le triangle est construit ligne par ligne par additions, avec des entiers exacts – jusqu'à la ligne 60, avec des valeurs supérieures à 1017, sans erreur d'arrondi. Pour un coefficient isolé, des permutations ou des arrangements, utilisez le calcul de combinaisons ; d'autres suites se trouvent dans la calculatrice de suites numériques.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le triangle de Pascal ?
Un tableau triangulaire de nombres où chaque nombre est la somme des deux du dessus. Il contient tous les coefficients binomiaux ; il porte le nom de Blaise Pascal, mais il était connu avant lui.
Comment calculer une ligne du triangle de Pascal ?
On part de 1 et, dans chaque ligne suivante, on additionne les nombres voisins de la ligne précédente ; les bords valent de nouveau 1. La ligne 5 est 1 5 10 10 5 1.
Quel rapport avec les identités remarquables ?
La ligne n donne les coefficients de (a + b)ⁿ. Pour n = 2, 1 2 1 donne la formule connue a² + 2ab + b².
Où se cache la suite de Fibonacci ?
Dans les diagonales obliques : leurs sommes valent 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. L'outil affiche le nombre de Fibonacci correspondant à la ligne choisie.
Que vaut la somme d'une ligne ?
La somme de la ligne n est toujours 2 puissance n. La ligne 10 totalise 1 024.
Sources et références juridiques
- Wikipedia – Pascalsches Dreieck
- Wikipedia – Pascal's triangle
- OEIS A007318 – Pascal's triangle read by rows
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