Triangolo di Tartaglia (Pascal)
Il triangolo di Tartaglia, noto anche come triangolo di Pascal, si genera qui fino alla riga 60: ogni numero è la somma dei due sopra di lui e la riga n dà i coefficienti di (a + b)ⁿ. Per n = 6 è 1 6 15 20 15 6 1, con il binomio sviluppato e le proprietà principali.
Esempio: Riga n 6 · Sviluppo del binomio: (a + b)ⁿ → Riga n: 1 6 15 20 15 6 1. Fonte: Wikipedia – Pascalsches Dreieck. Aggiornato al: .
Come si calcola
Il triangolo di Tartaglia è una disposizione di numeri in cui ognuno è la somma dei due immediatamente sopra, con degli 1 sui bordi. La riga 0 è 1, la riga 1 è 1 1, la riga 2 è 1 2 1, la riga 3 è 1 3 3 1 e così via. Gli elementi sono i coefficienti binomiali «n su k».
Cosa si può fare con il triangolo?
- Binomio di Newton: la riga n contiene i coefficienti di (a + b)ⁿ. Da 1 3 3 1 si ottiene (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. In (a − b)ⁿ i segni si alternano.
- Somma delle righe: la riga n somma 2ⁿ – ad esempio 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴.
- Probabilità: «n su k» conta i modi di scegliere k elementi tra n, come nel lancio di monete o nelle combinazioni del lotto.
- Numeri di Fibonacci: sommando le diagonali poco inclinate si ottiene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
Come funziona lo strumento
Il triangolo viene costruito riga per riga con addizioni, usando numeri interi esatti – fino alla riga 60, con valori oltre 1017, senza errori di arrotondamento. Per un singolo coefficiente, permutazioni e disposizioni usa il calcolo combinatorio; altre successioni sono nel calcolo di successioni numeriche.
Domande frequenti
Che cos'è il triangolo di Tartaglia?
Una disposizione triangolare di numeri in cui ogni numero è la somma dei due sopra. Contiene tutti i coefficienti binomiali; in Italia porta il nome di Niccolò Tartaglia, all'estero quello di Blaise Pascal, ma era noto già prima.
Come si calcola una riga del triangolo di Tartaglia?
Si parte da 1 e in ogni riga successiva si sommano i numeri vicini della riga precedente; i bordi tornano a essere 1. La riga 5 è 1 5 10 10 5 1.
Che legame ha con i prodotti notevoli?
La riga n dà i coefficienti di (a + b)ⁿ. Per n = 2, 1 2 1 dà la nota formula a² + 2ab + b².
Dove si nasconde la successione di Fibonacci?
Nelle diagonali poco inclinate: le loro somme sono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 e così via. Lo strumento mostra il numero di Fibonacci corrispondente alla riga scelta.
Quanto vale la somma di una riga?
La somma della riga n è sempre 2 elevato a n. La riga 10 somma 1.024.
Fonti e riferimenti normativi
- Wikipedia – Pascalsches Dreieck
- Wikipedia – Pascal's triangle
- OEIS A007318 – Pascal's triangle read by rows
Aggiornato al: · Principi editoriali
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