Trójkąt Pascala
Trójkąt Pascala wygenerujesz tu do wiersza 60: każda liczba jest sumą dwóch liczb nad nią, a wiersz n podaje współczynniki (a + b)ⁿ. Dla n = 6 to 1 6 15 20 15 6 1 – razem z rozwiniętym dwumianem i najważniejszymi własnościami.
Przykład: Wiersz n 6 · Rozwinięcie dwumianu: (a + b)ⁿ → Wiersz n: 1 6 15 20 15 6 1. Źródło: Wikipedia – Pascalsches Dreieck. Stan na: .
Jak to obliczamy
Trójkąt Pascala to układ liczb, w którym każda jest sumą dwóch bezpośrednio nad nią, a na brzegach stoją jedynki. Wiersz 0 to 1, wiersz 1 to 1 1, wiersz 2 to 1 2 1, wiersz 3 to 1 3 3 1 i tak dalej. Wyrazy to współczynniki dwumianowe „n nad k”.
Co można z nim zrobić?
- Dwumian Newtona: wiersz n zawiera współczynniki (a + b)ⁿ. Z 1 3 3 1 wynika (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. W (a − b)ⁿ znaki się przemiennie zmieniają.
- Suma wiersza: wiersz n sumuje się do 2ⁿ – na przykład 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴.
- Prawdopodobieństwo: „n nad k” liczy sposoby wyboru k z n elementów, np. przy rzutach monetą lub kombinacjach w loterii.
- Liczby Fibonacciego: sumując płytkie przekątne, otrzymujesz 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
Jak działa narzędzie
Trójkąt jest budowany wiersz po wierszu przez dodawanie, na dokładnych liczbach całkowitych – do wiersza 60, z wartościami powyżej 1017, bez błędów zaokrągleń. Dla pojedynczych współczynników, permutacji i wariacji użyj kalkulatora kombinacji; więcej ciągów znajdziesz w kalkulatorze ciągu liczbowego.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest trójkąt Pascala?
Trójkątnym układem liczb, w którym każda liczba jest sumą dwóch nad nią. Zawiera wszystkie współczynniki dwumianowe i nosi imię Blaise’a Pascala, choć był znany wcześniej.
Jak obliczyć wiersz trójkąta Pascala?
Zaczyna się od 1, a w każdym kolejnym wierszu dodaje się sąsiednie liczby z wiersza powyżej; brzegi znów wynoszą 1. Wiersz 5 to 1 5 10 10 5 1.
Co trójkąt Pascala ma wspólnego ze wzorami skróconego mnożenia?
Wiersz n podaje współczynniki (a + b)ⁿ. Dla n = 2 wiersz 1 2 1 daje znany wzór a² + 2ab + b².
Gdzie w trójkącie ukrywa się ciąg Fibonacciego?
W płytkich przekątnych: ich sumy to 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 i tak dalej. Narzędzie pokazuje liczbę Fibonacciego odpowiadającą wybranemu wierszowi.
Ile wynosi suma wiersza?
Suma wiersza n to zawsze 2 do potęgi n. Wiersz 10 sumuje się do 1 024.
Źródła i podstawa prawna
- Wikipedia – Pascalsches Dreieck
- Wikipedia – Pascal's triangle
- OEIS A007318 – Pascal's triangle read by rows
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Kalkulator kombinacjiKalkulator kombinacji, wariacji i permutacji z powtórzeniami i bez: dokładny symbol Newtona nawet dla ogromnych liczb, ze wzorem i tokiem obliczeń.
- Kalkulator ciągu liczbowegoKalkulator ciągu liczbowego: wpisz liczby, znajdź regułę (arytmetyczny, geometryczny, Fibonacciego, kwadratowy) i oblicz kolejne wyrazy, n-ty wyraz oraz sumę.
- Prawdopodobieństwo – kalkulatorKalkulator prawdopodobieństwa: zdarzenia sprzyjające do wszystkich, dwa zdarzenia, schemat Bernoulliego i losowanie bez zwracania jak w Lotto.
- Silnia – kalkulatorKalkulator silni: n! dokładnie ze wszystkimi cyframi do n = 5000, z liczbą cyfr, zerami na końcu i przybliżeniem Stirlinga – także duże potęgi jak 2^100.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Problem Collatza – kalkulatorProblem Collatza – kalkulator: kroki do 1, wartość maksymalna, kroki parzyste i nieparzyste, cały ciąg oraz rekordowe liczby startowe do wybranej granicy.
- Ciąg FibonacciegoCiąg Fibonacciego: n-ty wyraz do F(20000), lista wyrazów, sprawdzenie, czy liczba należy do ciągu, i rozkład Zeckendorfa, ze złotą proporcją. Za darmo.
- Interpolacja liniowa kalkulatorInterpolacja liniowa kalkulator: znajdź wartość y dla x między dwoma znanymi punktami, z równaniem prostej, odwróceniem do x i obliczeniami.
- Kalkulator graniastosłupaKalkulator graniastosłupa z podstawą trójkąta, prostokątnego, równobocznego lub wielokąta foremnego: objętość, pole boczne i pole powierzchni całkowitej.