Suite de Fibonacci
Calculez la suite de Fibonacci avec exactitude : le n-ième terme jusqu’à F(20000), la liste des premiers termes ou le test d’appartenance d’un nombre. F(20) vaut 6 765 et F(50) déjà 12 586 269 025.
Exemple : Que voulez-vous savoir: n-ième terme · Rang n 20 → Résultat : F(20) = 6 765. Source : Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Chaque nombre de Fibonacci est la somme des deux précédents : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Formellement, F(0) = 0, F(1) = 1 et F(n) = F(n−1) + F(n−2).
Comment le calcul est fait
Pour de grands n, le calculateur utilise les formules de doublement F(2k) = F(k) · (2·F(k+1) − F(k)) et F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)². Elles passent par l’arithmétique entière, sans erreur d’arrondi, même avec des centaines de chiffres. Le quotient F(n+1) / F(n) tend vers le nombre d’or 1,6180339887….
Tester et décomposer
Un nombre x est un nombre de Fibonacci exactement lorsque 5x² + 4 ou 5x² − 4 est un carré parfait. D’après le théorème de Zeckendorf, tout entier positif s’écrit de façon unique comme somme de nombres de Fibonacci non consécutifs : 100 = 89 + 8 + 3.
- Un nombre de Fibonacci sur trois est pair, un sur quatre est divisible par 3, un sur cinq par 5.
- La somme F(0) à F(n) vaut F(n+2) − 1.
- Les nombres de Lucas commencent par 2 et 1 et suivent la même règle : 2, 1, 3, 4, 7, 11…
Questions fréquentes
Quels sont les premiers nombres de Fibonacci ?
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Chaque terme est la somme des deux précédents.
Comment calculer le n-ième nombre de Fibonacci ?
Par récurrence F(n) = F(n−1) + F(n−2) ou plus vite avec les formules de doublement. Le calculateur donne F(n) exactement jusqu’à n = 20 000.
Quel est le lien avec le nombre d’or ?
Le quotient de deux termes consécutifs tend vers φ = 1,618… : 89 / 55 = 1,6182 et 233 / 144 = 1,6181.
Sources et références juridiques
- Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz)
- OEIS A000045 – Fibonacci numbers (valeurs et propriétés)
- Wikipedia – Fibonacci sequence (Fast doubling, recognizing Fibonacci numbers, Zeckendorf representation)
- Wikipedia – Lucas-Folge (L(n) = F(n−1) + F(n+1))
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