Pascalsches Dreieck
Das Pascalsche Dreieck erzeugen Sie hier bis Zeile 60: Jede Zahl ist die Summe der beiden darüber, und die Zeile n liefert die Koeffizienten von (a + b)ⁿ. Für n = 6 lautet sie 1 6 15 20 15 6 1 – zusammen mit der ausgeschriebenen binomischen Formel und den wichtigsten Eigenschaften.
Beispiel: Zeile n 6 · Binomische Formel: (a + b)ⁿ → Zeile n: 1 6 15 20 15 6 1. Quelle: Wikipedia – Pascalsches Dreieck. Stand: .
So wird gerechnet
Das Pascalsche Dreieck ist ein Zahlenschema, in dem jede Zahl die Summe der beiden darüber stehenden Zahlen ist; außen stehen Einsen. Zeile 0 ist die 1, Zeile 1 sind 1 1, Zeile 2 sind 1 2 1, Zeile 3 sind 1 3 3 1 und so weiter. Die Einträge sind die Binomialkoeffizienten „n über k“.
Was lässt sich damit rechnen?
- Binomische Formeln: Die Zeile n enthält die Koeffizienten von (a + b)ⁿ. Aus 1 3 3 1 folgt (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Bei (a − b)ⁿ wechseln die Vorzeichen.
- Zeilensumme: Jede Zeile n addiert sich zu 2ⁿ – etwa 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴.
- Wahrscheinlichkeit: „n über k“ zählt, auf wie viele Arten man k von n Dingen auswählt, zum Beispiel beim Münzwurf oder bei Lottokombinationen.
- Fibonacci-Zahlen: Addiert man die flachen Diagonalen, entsteht die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …
So rechnet das Tool
Das Dreieck wird Zeile für Zeile durch Addition aufgebaut und mit exakten ganzen Zahlen gerechnet – bis Zeile 60 mit Werten über 1017, ohne Rundungsfehler. Für einzelne Koeffizienten, Permutationen und Variationen nutzen Sie den Kombinatorik-Rechner; mehr Folgen finden Sie im Zahlenfolge-Rechner.
Häufige Fragen
Was ist das Pascalsche Dreieck?
Ein dreieckiges Zahlenschema, bei dem jede Zahl die Summe der beiden darüber ist. Es enthält alle Binomialkoeffizienten und ist nach Blaise Pascal benannt, war aber schon früher bekannt.
Wie berechnet man eine Zeile im Pascalschen Dreieck?
Man beginnt mit 1 und addiert in jeder Folgezeile die benachbarten Zahlen der Zeile davor; am Rand stehen wieder Einsen. Die Zeile 5 ist 1 5 10 10 5 1.
Was hat das Pascalsche Dreieck mit den binomischen Formeln zu tun?
Die Zeile n liefert die Koeffizienten von (a + b)ⁿ. Für n = 2 ergibt 1 2 1 die bekannte Formel a² + 2ab + b².
Wo versteckt sich die Fibonacci-Folge im Dreieck?
In den flachen Diagonalen: Deren Summen ergeben 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 und so weiter. Das Tool zeigt die passende Fibonacci-Zahl zur gewählten Zeile an.
Wie groß ist die Summe einer Zeile?
Die Summe der Zeile n ist immer 2 hoch n. Zeile 10 ergibt 1024.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wikipedia – Pascalsches Dreieck
- Wikipedia – Pascal's triangle
- OEIS A007318 – Pascal's triangle read by rows
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