パスカルの三角形ツール

パスカルの三角形を60行まで作れるツールです。各数は真上の2つの数の和で、n行目は (a + b)ⁿ を展開したときの係数になります。n = 6 なら 1 6 15 20 15 6 1 です。二項定理の展開式と、行の和などの性質もあわせて表示します。

計算例：行 n 6 · 二項定理の展開: (a + b)ⁿ → n行目：1 6 15 20 15 6 1。出典：Wikipedia – Pascalsches Dreieck。更新日：2026年10月2日

行 n

0〜60の整数。一番上の行が0行目

二項定理の展開

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結果

n行目: 1 6 15 20 15 6 1
二項定理の展開: (a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶
性質: 6行目の和は 2^6 = 64 です。
中央の項は二項係数「6C3」= 20 です。
この行の奇数：7個中4個。
6行目から始まる斜めの列の和は、フィボナッチ数 F(7) = 13 になります。
n行目までの三角形: n 行和
0 1 1
1 1 1 2
2 1 2 1 4
3 1 3 3 1 8
4 1 4 6 4 1 16
5 1 5 10 10 5 1 32
6 1 6 15 20 15 6 1 64

パスカルの三角形は、各数が真上の2つの数の和になるように並べた数の三角形で、両端は1です。0行目は 1、1行目は 1 1、2行目は 1 2 1、3行目は 1 3 3 1 と続きます。並ぶ数は二項係数「nCk」です。

二項定理：n行目は (a + b)ⁿ の展開の係数です。1 3 3 1 から (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ がわかります。(a − b)ⁿ では符号が交互になります。
行の和：n行目の和は 2ⁿ です。たとえば 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴ です。
確率・場合の数：nCk は、n個からk個を選ぶ方法の数です。コイン投げやくじの組み合わせに使います。
フィボナッチ数：斜めの列を足すと 1、1、2、3、5、8、13…が現れます。

三角形は行ごとに足し算で作り、正確な整数で計算します。60行目では10¹⁷を超える値になりますが、丸め誤差はありません。単独の係数や順列は組み合わせの計算、ほかの数列は数列の計算をご利用ください。

パスカルの三角形とは何ですか？

各数が真上の2つの数の和になっている三角形の数の並びです。すべての二項係数を含み、ブレーズ・パスカルにちなんで名付けられましたが、それ以前から知られていました。

パスカルの三角形の行はどう作りますか？

1から始め、次の行では前の行の隣り合う数を足します。両端は再び1になります。5行目は 1 5 10 10 5 1 です。

展開公式（乗法公式）との関係は？

n行目は (a + b)ⁿ の係数です。n = 2 なら 1 2 1 で、おなじみの a² + 2ab + b² になります。

フィボナッチ数はどこに隠れていますか？

斜めの列の和です。1、1、2、3、5、8、13…と続きます。ツールは選んだ行に対応するフィボナッチ数を表示します。

行の和はいくつになりますか？

n行目の和は常に2のn乗です。10行目の和は1,024です。

更新日：2026年10月2日 · 編集方針