Driehoek van Pascal
De driehoek van Pascal maak je hier tot rij 60: elk getal is de som van de twee getallen erboven en rij n geeft de coëfficiënten van (a + b)ⁿ. Voor n = 6 is dat 1 6 15 20 15 6 1, met het uitgewerkte binomium en de belangrijkste eigenschappen.
Voorbeeld: Rij n 6 · Binomium uitwerken: (a + b)ⁿ → Rij n: 1 6 15 20 15 6 1. Bron: Wikipedia – Pascalsches Dreieck. Bijgewerkt: .
Zo wordt het berekend
De driehoek van Pascal is een schema van getallen waarin elk getal de som is van de twee getallen er direct boven, met 1 langs de randen. Rij 0 is 1, rij 1 is 1 1, rij 2 is 1 2 1, rij 3 is 1 3 3 1 enzovoort. De getallen zijn de binomiaalcoëfficiënten “n boven k”.
Wat kun je ermee?
- Binomium van Newton: rij n bevat de coëfficiënten van (a + b)ⁿ. Uit 1 3 3 1 volgt (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Bij (a − b)ⁿ wisselen de tekens af.
- Rijsom: rij n telt op tot 2ⁿ – bijvoorbeeld 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴.
- Kansrekening: “n boven k” telt de manieren om k van n dingen te kiezen, zoals bij munten opgooien of loterijcombinaties.
- Fibonacci-getallen: tel je de ondiepe diagonalen op, dan krijg je 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
Zo werkt de tool
De driehoek wordt rij voor rij met optellingen opgebouwd, met exacte gehele getallen – tot rij 60 met waarden boven 1017, zonder afrondingsfouten. Voor losse coëfficiënten, permutaties en variaties gebruik je combinaties berekenen; meer rijen vind je bij getallenrij berekenen.
Veelgestelde vragen
Wat is de driehoek van Pascal?
Een driehoekig schema van getallen waarin elk getal de som is van de twee erboven. Het bevat alle binomiaalcoëfficiënten en is genoemd naar Blaise Pascal, maar was al eerder bekend.
Hoe bereken je een rij van de driehoek van Pascal?
Begin met 1 en tel in elke volgende rij de naburige getallen van de rij erboven op; de randen zijn weer 1. Rij 5 is 1 5 10 10 5 1.
Wat heeft de driehoek met merkwaardige producten te maken?
Rij n geeft de coëfficiënten van (a + b)ⁿ. Voor n = 2 geeft 1 2 1 de bekende formule a² + 2ab + b².
Waar zit de Fibonacci-rij in de driehoek?
In de ondiepe diagonalen: hun sommen zijn 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 enzovoort. De tool toont het Fibonacci-getal dat bij de gekozen rij hoort.
Hoe groot is de som van een rij?
De som van rij n is altijd 2 tot de macht n. Rij 10 telt op tot 1.024.
Bronnen en wettelijke basis
- Wikipedia – Pascalsches Dreieck
- Wikipedia – Pascal's triangle
- OEIS A007318 – Pascal's triangle read by rows
Bijgewerkt op: · Redactioneel beleid
Vergelijkbare tools
- Combinaties berekenenCombinaties berekenen: combinaties en permutaties met en zonder herhaling, n boven k en faculteit – exact, ook voor enorme getallen, met formule en uitwerking.
- Getallenrij berekenenGetallenrij berekenen: voer getallen in, vind de regel (rekenkundig, meetkundig, Fibonacci, kwadratisch) en bereken de volgende termen, de n-de term en de som.
- Kans berekenenKans berekenen: gunstige door mogelijke uitkomsten, twee gebeurtenissen, herhaalde pogingen (binomiaal) en trekken zonder terugleggen, met uitleg.
- Faculteit berekenenFaculteit berekenen: n! exact met alle cijfers tot n = 5.000, met nullen aan het eind en de benadering van Stirling – en grote machten zoals 2^100.
- Rekenmachine onlineGratis online rekenmachine: typ of tik en zie meteen de uitkomst – met volgorde van bewerkingen, haakjes, procent, wortel, tussenstappen en geschiedenis.
- Residuen berekenenResiduen berekenen voor lineaire regressie: regressielijn, voorspelling ŷ en residu y − ŷ per punt, plus SSE, standaardfout van de residuen en R² met stappen.
- Decimalen van piDecimalen van pi tot 10.000 cijfers: laat er zoveel zien als je wilt, vind het cijfer op een positie of zoek een reeks, zoals je geboortedatum, in π.
- Zwaartepunt berekenen voor maximaal vier massa’sZwaartepunt berekenen: x- en y-coördinaat van het massamiddelpunt van maximaal vier puntmassa’s, of het zwaartepunt van een samengestelde figuur.
- Ellips berekenenEllips berekenen met beide halve assen of assen: oppervlakte, omtrek (Ramanujan), excentriciteit, brandpuntsafstand en parameter met formules en rekenstappen.