Calcul combinaison et arrangement
Ce calcul de combinaison compte de combien de façons on peut choisir k éléments parmi n, selon que l’ordre compte ou non et que les répétitions sont permises ou non.
Exemple : n – nombre d’éléments disponibles 49 · k – nombre d’éléments choisis 6 · L’ordre compte-t-il: Non – seul le choix compte (combinaison) · Les répétitions sont-elles permises: Non – chaque élément au plus une fois → Nombre de possibilités : 13 983 816. Source : Wolfram MathWorld – Binomial coefficient. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Le nombre de façons de choisir k éléments parmi n dépend de deux questions : l’ordre compte-t-il (arrangement) ou non (combinaison) ? Un élément peut-il être choisi plusieurs fois (avec répétition) ? On obtient quatre formules.
Les quatre formules
- Arrangement sans répétition : n! ÷ (n − k)! – podium, attribution de postes.
- Arrangement avec répétition (p-liste) : nᵏ – cadenas à code, code PIN, mot de passe.
- Combinaison sans répétition, « k parmi n » : n! ÷ (k! (n − k)!) – tirage du Loto, choix d’une équipe.
- Combinaison avec répétition : (n + k − 1)! ÷ (k! (n − 1)!) – boules de glace, achats multiples.
Cas particulier, la permutation : on range les n éléments (k = n), soit n! façons. 5 livres sur une étagère : 5! = 120 ordres possibles.
Exemple : le Loto
Au Loto, on coche 5 numéros parmi 49 et 1 numéro Chance parmi 10. « 5 parmi 49 » = (49 × 48 × 47 × 46 × 45) ÷ (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 1 906 884 ; avec le numéro Chance, 19 068 840 grilles différentes, donc une chance sur 19 068 840 de gagner le premier rang.
Très grands nombres
Les factorielles croissent très vite : 20! compte déjà 19 chiffres, 100! en compte 158. L’outil calcule exactement avec des entiers de toute longueur et affiche aussi les très grands résultats en notation scientifique. Les touches n! et nCr existent aussi sur la calculatrice scientifique, et le générateur de nombre aléatoire fait les tirages.
Questions fréquentes
Comment calculer « k parmi n » ?
Avec la formule n! ÷ (k! (n − k)!), aussi notée C(n, k) ou nCr. Par exemple, 2 parmi 5 = 10.
Quelle est la différence entre arrangement et combinaison ?
Dans un arrangement, l’ordre compte (AB ≠ BA) ; dans une combinaison, non (AB = BA). Il y a donc toujours au moins autant d’arrangements que de combinaisons.
Combien de combinaisons au Loto ?
1 906 884 pour 5 numéros parmi 49 ; avec le numéro Chance (1 parmi 10), 19 068 840 grilles.
Combien de codes à 4 chiffres existe-t-il ?
10⁴ = 10 000 (arrangement avec répétition). Sans chiffre répété : 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040.
Comment calculer une combinaison avec répétition ?
Avec « k parmi n + k − 1 ». 3 boules de glace parmi 5 parfums : 3 parmi 7 = 35 cornets possibles.
Que valent 0! et « 0 parmi n » ?
Tous deux valent 1 : il y a une seule façon de ne rien choisir ou de ne rien ranger.
Sources et références juridiques
- Wolfram MathWorld – Binomial coefficient
- Wolfram MathWorld – Combination
- Wolfram MathWorld – Permutation
- Wolfram MathWorld – Multichoose (combinations with repetition)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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