Nombres premiers – liste, test et calcul
Cet outil calcule les nombres premiers de trois façons : il liste tous ceux d’un intervalle (par exemple jusqu’à 100), teste un nombre et affiche sa décomposition, ou trouve le n-ième de la suite. Le résultat s’affiche aussitôt, avec les jumeaux, le plus grand écart et le détail du calcul.
Exemple : Tâche: Lister les nombres premiers d’un intervalle · De 1 · À 100 → Résultat : 25 nombres premiers de 1 à 100. Source : Wikipedia – Prime number (Definition, Primzahlsatz, Zwillingsprimzahlen). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n’est divisible que par 1 et par lui-même. Les premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29. Le 2 est le seul premier pair, et 1 n’est pas considéré comme premier. Il y en a 25 jusqu’à 100, 168 jusqu’à 1 000 et 78 498 jusqu’à un million.
Comment l’outil calcule
- Lister : le crible d’Ératosthène barre d’abord tous les multiples de 2, puis de 3, 5, 7 et ainsi de suite. Ce qui reste, ce sont les premiers. Il fonctionne jusqu’à 10 millions et compte au passage les jumeaux et le plus grand écart.
- Tester : un nombre n est premier si aucun diviseur premier inférieur ou égal à √n ne le divise. Pour les nombres jusqu’à 10 puissance 15, ce test suffit ; le détail indique le plus petit diviseur ou la décomposition.
- N-ième nombre premier : le 100e est 541, le 1 000e est 7 919 et le 10 000e est 104 729.
Jumeaux, écarts et répartition
Les nombres premiers jumeaux sont des paires comme (11, 13) ou (41, 43), d’écart 2. On ignore s’il y en a une infinité. Les écarts entre premiers consécutifs grandissent en moyenne : d’après le théorème des nombres premiers, la densité vaut environ 1 divisé par ln n. Pour décomposer entièrement un nombre en facteurs, utilisez la décomposition en facteurs premiers ; pour le plus grand diviseur commun et le plus petit multiple commun, le calcul du PGCD et du PPCM.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Un entier naturel supérieur à 1 qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple 2, 3, 5, 7 et 11. Les nombres qui ont plus de diviseurs sont dits composés.
1 est-il un nombre premier ?
Non. Le nombre 1 n’a qu’un seul diviseur et, par définition, n’est pas premier. Cela garantit que la décomposition de chaque nombre en facteurs premiers est unique.
Combien y a-t-il de nombres premiers jusqu’à 100 ?
Il y en a 25 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.
Comment savoir si un nombre est premier ?
On le divise par tous les premiers jusqu’à sa racine carrée. Si aucune division ne tombe juste, le nombre est premier. Pour 97, il suffit de tester 2, 3, 5 et 7.
Y a-t-il une infinité de nombres premiers ?
Oui, Euclide l’a démontré il y a plus de 2 000 ans. Il n’y en a donc pas de dernier ; l’outil s’arrête à 10 millions uniquement pour des raisons de temps de calcul.
Sources et références juridiques
- Wikipedia – Prime number (Definition, Primzahlsatz, Zwillingsprimzahlen)
- Wikipedia – Sieve of Eratosthenes (crible d’Ératosthène)
- OEIS A006880 – nombre de nombres premiers inférieurs à 10^n (valeurs de contrôle)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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