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Calcul du PGCD et du PPCM

Pour le calcul du PGCD et du PPCM, saisissez simplement les nombres séparés par des virgules ou des espaces – de deux à dix entiers. Les deux méthodes s’affichent pas à pas.

Source : Wolfram MathWorld – Greatest common divisor. Mise à jour : .

entiers naturels jusqu’à 10¹², séparés par virgule, point-virgule ou espace
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Résultat

Plus grand commun diviseur (PGCD)
PGCD(12, 18, 30) = 6
Plus petit commun multiple (PPCM)
PPCM(12, 18, 30) = 180
Décomposition en facteurs premiers
  • 12 = 2² · 3
  • 18 = 2 · 3²
  • 30 = 2 · 3 · 5
Méthode des facteurs premiers
  • PGCD = facteurs premiers communs avec le plus petit exposant : 2 · 3 = 6
  • PPCM = tous les facteurs premiers avec le plus grand exposant : 2² · 3² · 5 = 180
Algorithme d’Euclide
  • PGCD(12, 18) :
  • 18 = 1 · 12 + 6
  • 12 = 2 · 6 + 0
  • PGCD(6, 30) :
  • 30 = 5 · 6 + 0
Tous les diviseurs communs
1, 2, 3, 6

Comment le calcul est fait

Le PGCD est le plus grand nombre qui divise tous les nombres donnés ; le PPCM est le plus petit nombre multiple de tous. Pour 12 et 18 : PGCD = 6 et PPCM = 36. Pour deux nombres, on a toujours PGCD × PPCM = a × b.

PGCD et PPCM par décomposition en facteurs premiers

On décompose chaque nombre : 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5. Pour le PGCD, on garde les facteurs communs à tous les nombres, avec le plus petit exposant : 2 × 3 = 6. Pour le PPCM, on prend tous les facteurs avec le plus grand exposant : 2² × 3² × 5 = 180.

PGCD avec l’algorithme d’Euclide

Plus rapide pour les grands nombres : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. Exemple : 1071 = 2 × 462 + 147, 462 = 3 × 147 + 21, 147 = 7 × 21 + 0 → PGCD = 21. La méthode figure déjà dans les Éléments d’Euclide (livre VII).

À quoi servent le PGCD et le PPCM ?

Continuez avec la calculatrice de fractions, convertissez avec nombre décimal en fraction ou utilisez la calculatrice.

Questions fréquentes

Comment calculer le PGCD ?

Soit par décomposition en facteurs premiers (12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² → 2 × 3 = 6), soit avec l’algorithme d’Euclide par divisions successives jusqu’à un reste nul.

Comment calculer le PPCM ?

Multiplier tous les facteurs premiers avec leur plus grand exposant : PPCM(12 ; 18) = 2² × 3² = 36. Pour deux nombres : PPCM = a × b ÷ PGCD = 12 × 18 ÷ 6 = 36.

Comment trouver le PGCD de trois nombres ?

De proche en proche : PGCD(12 ; 18 ; 30) = PGCD(PGCD(12 ; 18) ; 30) = PGCD(6 ; 30) = 6. Idem pour le PPCM : PPCM(36 ; 30) = 180.

Que veut dire « premiers entre eux » ?

Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1, comme 8 et 15. Leur PPCM est alors leur produit : 120.

Comment rendre une fraction irréductible avec le PGCD ?

On divise numérateur et dénominateur par leur PGCD : 84/126, PGCD = 42, donc 84/126 = 2/3.

Sources et références juridiques

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