Primzahlen berechnen
Primzahlen berechnen Sie hier auf drei Arten: Sie lassen sich alle Primzahlen in einem Bereich auflisten (zum Beispiel bis 100), prüfen eine einzelne Zahl samt Zerlegung oder suchen die n-te Primzahl. Ein Ergebnis steht sofort da, dazu Primzahlzwillinge, die größte Lücke und der Rechenweg.
Beispiel: Aufgabe: Primzahlen in einem Bereich auflisten · Von 1 · Bis 100 → Ergebnis: 25 Primzahlen von 1 bis 100. Quelle: Wikipedia – Prime number (Definition, Primzahlsatz, Zwillingsprimzahlen). Stand: .
So wird gerechnet
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl, die 1 gilt nicht als Primzahl. Bis 100 gibt es 25 Primzahlen, bis 1.000 sind es 168 und bis eine Million 78.498.
So rechnet das Tool
- Auflisten: Das Sieb des Eratosthenes streicht zuerst alle Vielfachen von 2, dann von 3, 5, 7 und so weiter. Was übrig bleibt, sind die Primzahlen. Es arbeitet bis 10 Millionen und zählt dabei Zwillinge und die größte Lücke.
- Prüfen: Eine Zahl n ist prim, wenn keine Primzahl bis √n sie teilt. Bei Zahlen bis 10 hoch 15 genügt dieser Test, der Rechenweg nennt den kleinsten Teiler oder die Zerlegung.
- n-te Primzahl: Die 100. Primzahl ist 541, die 1.000. ist 7.919 und die 10.000. ist 104.729.
Zwillinge, Lücken und die Verteilung
Primzahlzwillinge sind Paare wie (11, 13) oder (41, 43) mit Abstand 2. Ob es unendlich viele gibt, ist ungeklärt. Die Lücken zwischen Primzahlen werden im Mittel größer: Nach dem Primzahlsatz liegt die Dichte bei etwa 1 durch ln n. Wer eine einzelne Zahl vollständig in Faktoren zerlegen will, nutzt den Primfaktorzerlegung-Rechner, für größten gemeinsamen Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches den GGT-und-KGV-Rechner.
Häufige Fragen
Was ist eine Primzahl?
Eine natürliche Zahl größer als 1, die genau zwei Teiler hat: 1 und sich selbst. Beispiele sind 2, 3, 5, 7 und 11. Zahlen mit mehr Teilern heißen zusammengesetzt.
Ist 1 eine Primzahl?
Nein. Die 1 hat nur einen Teiler und gilt per Definition nicht als Primzahl. Damit bleibt die Primfaktorzerlegung jeder Zahl eindeutig.
Wie viele Primzahlen gibt es bis 100?
Es sind 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97.
Wie prüft man, ob eine Zahl eine Primzahl ist?
Man teilt sie durch alle Primzahlen bis zur Wurzel der Zahl. Geht keine Division ohne Rest auf, ist die Zahl prim. Für 97 genügt es, 2, 3, 5 und 7 zu prüfen.
Gibt es unendlich viele Primzahlen?
Ja. Das hat Euklid vor über 2000 Jahren bewiesen. Es gibt also keine größte Primzahl, und auch dieses Tool hört nur wegen der Rechenzeit bei 10 Millionen auf.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wikipedia – Prime number (Definition, Primzahlsatz, Zwillingsprimzahlen)
- Wikipedia – Sieve of Eratosthenes (Sieb des Eratosthenes)
- OEIS A006880 – Anzahl der Primzahlen unter 10^n (Kontrollwerte)
Stand: · So prüfen wir
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