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Décomposition en facteurs premiers

Saisissez un nombre entier : sa décomposition en facteurs premiers s’affiche avec les divisions successives, et l’outil indique si le nombre est premier.

Source : Wolfram MathWorld – Prime factorization. Mise à jour : .

entier de 2 à 1 000 000 000 000
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Résultat

Décomposition en facteurs premiers
360 = 2³ · 3² · 5
Écriture développée
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
Nombre premier ?
Non – 360 n’est pas premier. Nombres premiers voisins : 359 et 367.
Étapes (divisions successives)
  • 360 = 2 · 180
  • 180 = 2 · 90
  • 90 = 2 · 45
  • 45 = 3 · 15
  • 15 = 3 · 5
  • 5 est premier – terminé.
Diviseurs
24 diviseurs, somme des diviseurs 1 170
Liste des diviseurs
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360

Comment le calcul est fait

Décomposer un nombre en facteurs premiers, c’est l’écrire comme un produit de nombres premiers : 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5. D’après le théorème fondamental de l’arithmétique, cette décomposition est unique pour tout entier supérieur ou égal à 2, à l’ordre près.

Méthode des divisions successives

  1. Diviser par le plus petit nombre premier qui convient : 360 ÷ 2 = 180.
  2. Recommencer avec le quotient : 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5.
  3. S’arrêter quand le quotient est premier (5) et regrouper les facteurs égaux en puissances.

Les critères de divisibilité aident : par 2 si le chiffre des unités est pair, par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3, par 5 s’il se termine par 0 ou 5. Il suffit de tester jusqu’à la racine carrée du nombre.

À quoi sert la décomposition ?

Nombre et somme des diviseurs

Les exposants donnent directement le nombre de diviseurs : (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 diviseurs pour 360. L’outil affiche aussi leur somme et leur liste quand elle n’est pas trop longue.

Questions fréquentes

Comment décomposer un nombre en facteurs premiers ?

Diviser par le plus petit nombre premier possible, recommencer avec le quotient jusqu’à obtenir un nombre premier : 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7.

1 est-il un nombre premier ?

Non : un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Le plus petit nombre premier est 2, seul nombre premier pair.

Comment savoir si un nombre est premier ?

Tester la divisibilité par tous les nombres premiers jusqu’à sa racine carrée. Pour 97, √97 ≈ 9,8 et ni 2, ni 3, ni 5, ni 7 ne divisent : 97 est premier.

Comment trouver le nombre de diviseurs ?

Ajouter 1 à chaque exposant de la décomposition puis multiplier : 72 = 2³ × 3² a (3 + 1)(2 + 1) = 12 diviseurs.

À quoi sert la décomposition en facteurs premiers en 3e ?

À rendre des fractions irréductibles et à trouver le PGCD, par exemple pour 84/126 = (2² × 3 × 7)/(2 × 3² × 7) = 2/3.

Sources et références juridiques

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