Calculateur de l’ensemble des parties
Ce calculateur de l’ensemble des parties liste les sous-ensembles de votre ensemble. Exemple : l’ensemble {a, b, c} a 3 éléments, donc son ensemble des parties compte 2³ = 8 parties, dont ∅ et {a, b, c}.
Source : Wikipedia – Power set. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
L’ensemble des parties d’un ensemble M est l’ensemble de tous ses sous-ensembles, y compris l’ensemble vide ∅ et M lui-même. Un ensemble à n éléments a exactement 2ⁿ parties.
Pourquoi 2ⁿ ?
Chaque élément peut figurer ou non dans une partie : deux possibilités. Avec n éléments, ces choix se multiplient : 2 · 2 · … · 2 = 2ⁿ. Si l’on trie les parties par taille k, il y en a exactement C(n, k) de chaque taille, et la somme de tous les C(n, k) vaut encore 2ⁿ.
Exemples détaillés
Pour M = {a, b, c}, n = 3 et l’ensemble des parties compte 2³ = 8 éléments : ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} et {a, b, c}. Par taille, elles se répartissent en 1, 3, 3, 1, car C(3, 0) = 1, C(3, 1) = 3, C(3, 2) = 3 et C(3, 3) = 1. Quatre éléments donnent 2⁴ = 16 parties (1, 4, 6, 4, 1), dix éléments déjà 1024. L’ensemble vide a exactement une partie : lui-même.
- L’ordre des éléments n’a pas d’importance ; {a, b} et {b, a} sont le même ensemble.
- Le nombre croît très vite : 20 éléments donnent plus d’un million de parties.
- L’ensemble des parties se note P(M) ou 2^M.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que l’ensemble des parties ?
L’ensemble de tous les sous-ensembles d’un ensemble, y compris ∅ et l’ensemble lui-même. Pour {a, b, c}, cela fait 8 parties.
Combien d’éléments compte l’ensemble des parties ?
2ⁿ pour un ensemble à n éléments. 4 éléments donnent 16 parties, 10 éléments 1024.
L’ensemble vide fait-il partie de l’ensemble des parties ?
Oui, ∅ est une partie de tout ensemble ; il en est donc toujours un élément.
Sources et références juridiques
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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