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Changement de base avec les étapes

Saisissez un nombre, choisissez sa base et la base d’arrivée. Le calcul reste exact même pour de très grands nombres, repère les développements périodiques et détaille chaque étape : divisions successives, poids des chiffres et multiplications successives.

ex. 255, −42, 0,1, FF ou 0x1F – les préfixes 0x, 0b et 0o sont acceptés
Un développement qui ne s’arrête pas est tronqué ici
Entiers négatifs sous forme de motif binaire ; une saisie en base 2, 8 ou 16 est lue comme un motif
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Résultat

Résultat
FF
Binaire (base 2)
1111 1111
Octal (base 8)
377
Décimal (base 10)
255
Hexadécimal (base 16)
FF
Étapes du calcul
  • Partie entière : divisions successives par 16, chaque reste donne le chiffre suivant :
  • 255 ÷ 16 = 15 reste 15 (F)
  • 15 ÷ 16 = 0 reste 15 (F)
  • Restes lus de bas en haut : FF₁₆

Comment le calcul est fait

Le principe de la numération de position

En base b, chaque chiffre vaut chiffre × brang. En décimal, 255 signifie 2 × 10² + 5 × 10¹ + 5 × 10⁰. Le binaire n’utilise que 0 et 1, l’octal 0 à 7 et l’hexadécimal 0 à 9 puis A à F (A = 10 … F = 15). Au-delà de 10, on emprunte les lettres, jusqu’à Z = 35 en base 36.

Changer de base en 3 étapes

  1. Saisissez le nombre, avec virgule ou signe moins si besoin.
  2. Choisissez la base de départ et la base d’arrivée (binaire, octal, décimal, hexadécimal), éventuellement le nombre de chiffres après la virgule et le complément à deux de 8 à 64 bits.
  3. Lisez le résultat dans les quatre bases et les étapes du calcul.
DécimalBinaireOctalHexadécimal
10101012A
15111117F
100110 010014464
2551111 1111377FF

D’une base vers le décimal : on additionne les poids

On multiplie chaque chiffre par la puissance de la base correspondant à son rang, puis on additionne : FF₁₆ = 15 × 16¹ + 15 × 16⁰ = 240 + 15 = 255. Après la virgule, les exposants sont négatifs : 0,1₂ = 1 × 2⁻¹ = 0,5.

Du décimal vers une base : divisions successives

On divise le nombre par la base d’arrivée, puis le quotient, et ainsi de suite jusqu’à obtenir 0. Les restes lus de bas en haut forment le résultat. Exemple : 13 en binaire.

De bas en haut : 13 = 1101₂.

Partie décimale : multiplications successives et période

On multiplie la partie décimale par la base ; la partie entière obtenue est le chiffre suivant, et l’on recommence avec le reste. 0,1 en binaire : 0,1 × 2 = 0,2 → 0 ; 0,4 → 0 ; 0,8 → 0 ; 1,6 → 1 ; 1,2 → 1 ; puis 0,4 revient. Résultat : 0,1 = 0,0(0011)₂, un développement périodique – c’est pourquoi un ordinateur ne peut pas stocker 0,1 exactement.

Le développement s’arrête si et seulement si chaque facteur premier du dénominateur (fraction irréductible) divise aussi la base. 1/2 s’écrit 0,1₂ ; 1/10 ne s’arrête pas en binaire, car 5 ne divise pas 2. Le convertisseur trouve la période exactement, car il calcule avec des entiers (BigInt) et non en virgule flottante.

Nombres négatifs et complément à deux

Sur papier, on note simplement le signe moins : −255 = −FF₁₆. Les processeurs, eux, utilisent le complément à deux : on écrit la valeur absolue en binaire, on inverse tous les bits et on ajoute 1. −1 sur 8 bits : 0000 0001 → 1111 1110 → 1111 1111. Sur n bits, on représente de −2ⁿ⁻¹ à 2ⁿ⁻¹ − 1 : sur 8 bits, de −128 à 127, et 128 provoque un dépassement.

Autres écritures des nombres : le convertisseur de chiffres romains, la calculatrice de puissances et la notation scientifique.

Questions fréquentes

Comment convertir un nombre décimal en binaire ?

Par divisions successives par 2 : on note chaque reste jusqu’à obtenir un quotient nul, puis on lit les restes de bas en haut. 13 → 6 r1, 3 r0, 1 r1, 0 r1 → 1101.

Comment passer de l’hexadécimal au décimal ?

On multiplie chaque chiffre par 16 puissance son rang (en partant de 0 à droite) et on additionne. A à F valent 10 à 15 : 2F₁₆ = 2 × 16 + 15 = 47.

Pourquoi un chiffre hexadécimal correspond-il à quatre bits ?

Parce que 16 = 2⁴. On découpe le nombre binaire en paquets de quatre à partir de la droite et on traduit chaque paquet : 1111 1111 = F F = FF. En octal (8 = 2³), on forme des paquets de trois.

Pourquoi 0,1 est-il périodique en binaire ?

0,1 = 1/10 et 10 contient le facteur premier 5, absent de la base 2. Une telle fraction ne s’arrête jamais en binaire : 0,1 = 0,000110011…₂. Voilà pourquoi 0,1 + 0,2 ne donne pas exactement 0,3 dans la plupart des langages de programmation.

Qu’est-ce que le complément à deux ?

La façon standard de coder les entiers négatifs en machine : valeur absolue en binaire, inversion de tous les bits, puis +1. −1 sur 8 bits devient 1111 1111 (FF). Sur 8 bits, on va de −128 à 127.

Quelles bases sont prises en charge ?

Toutes les bases de 2 à 36. Au-delà, il n’y a plus de symboles : 0–9 et A–Z font 36 caractères. Majuscules et minuscules sont acceptées indifféremment.

Sources et références juridiques

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