Calculateur de loi géométrique
Ce calculateur de loi géométrique demande la probabilité de succès p et le numéro d’essai k. Exemple : avec p = 0,2, le premier succès arrive exactement au 3e essai avec une probabilité de 0,128.
Exemple : Probabilité de succès p 0,2 · Nombre k 3 · On compte: Les essais jusqu’au premier succès inclus (k ≥ 1) → Résultat : P(X = 3) = 0,128 (p = 0,2, premier succès à l’essai 3). Source : Wikipedia – Geometric distribution. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
La loi géométrique indique combien d’essais indépendants de même probabilité de succès p sont nécessaires jusqu’au premier succès.
Formules
Si l’on compte les essais, le succès inclus, P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) · p pour k = 1, 2, 3, … ; la probabilité de réussir au plus tard à l’essai k est P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k. L’espérance vaut 1/p et la variance (1 − p) / p². Si l’on ne compte que les échecs précédents (k = 0, 1, 2, …), P(Y = k) = (1 − p)^k · p et l’espérance est (1 − p) / p.
Exemple détaillé
Chaque essai réussit avec p = 0,2. Un premier succès au troisième essai signifie deux échecs puis une réussite : 0,8² · 0,2 = 0,128. Réussir au plus tard au 3e essai a pour probabilité 1 − 0,8³ = 0,488, donc plus de trois essais sont nécessaires avec une probabilité de 0,512. En moyenne, il faut 1/0,2 = 5 essais, et la variance vaut 0,8 / 0,04 = 20. En ne comptant que les échecs, trois échecs avant le succès ont pour probabilité 0,8³ · 0,2 = 0,1024, pour une moyenne de 4.
- La loi est sans mémoire : les échecs passés ne changent pas la chance au prochain essai.
- Les probabilités diminuent quand k augmente ; la valeur la plus probable est toujours le premier essai.
- Son équivalent continu est la loi exponentielle.
Questions fréquentes
Comment calcule-t-on la loi géométrique ?
Avec P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) · p. Pour p = 0,2 et k = 3, on obtient 0,8² · 0,2 = 0,128.
Quelle différence entre essais et échecs ?
En comptant les essais, on inclut le réussi (k ≥ 1, moyenne 1/p) ; en comptant les échecs, non (k ≥ 0, moyenne (1 − p)/p). Les probabilités sont les mêmes, décalées d’un cran.
Combien d’essais faut-il en moyenne ?
En moyenne 1/p essais. Avec 20 % de réussite, cela fait 5 essais jusqu’à la première réussite.
Sources et références juridiques
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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