Calculateur de loi hypergéométrique
Ce calculateur de loi hypergéométrique demande la taille de la population, le nombre de succès, la taille de l’échantillon et les succès cherchés. Exemple : 10 lots gagnants parmi 50 billets, 5 tirés ; exactement 2 gagnants a pour probabilité 0,20984.
Exemple : Taille de la population N 50 · Succès K dans la population 10 · Taille de l’échantillon n (sans remise) 5 · Succès recherchés k 2 → Résultat : P(X = 2) = 0,20984 (N = 50, K = 10, n = 5). Source : Wikipedia – Hypergeometric distribution. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
La loi hypergéométrique donne la probabilité d’obtenir k succès lorsqu’on tire sans remise dans une population finie.
Formule
La population compte N éléments dont K succès. On en tire n sans remise. Alors P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n) : on compte les tirages favorables (k succès parmi K, n − k échecs parmi N − K) et on divise par tous les tirages possibles. L’espérance est n · K / N et la variance n · (K/N) · (1 − K/N) · (N − n)/(N − 1). Le dernier facteur est la correction de population finie ; il rend la variance plus petite que pour la loi binomiale.
Exemple détaillé
Une urne contient 50 billets dont 10 gagnants. On en tire 5. Exactement 2 gagnants : C(10, 2) = 45, C(40, 3) = 9880 et C(50, 5) = 2118760, donc P = 45 · 9880 / 2118760 = 444600 / 2118760 = 0,20984. Au plus 2 gagnants a pour probabilité 0,95174, au moins 2 gagnants 0,2581. En moyenne, on attend 5 · 10 / 50 = 1 gagnant, et la variance vaut 5 · 0,2 · 0,8 · 45/49 = 0,734694.
- Usages typiques : loteries, contrôle qualité par échantillonnage et jeux de cartes.
- Sans remise, les tirages dépendent les uns des autres ; ce n’est donc pas la loi binomiale.
- Seuls les nombres de succès de max(0, n − (N − K)) à min(n, K) sont possibles.
Questions fréquentes
Comment calcule-t-on la loi hypergéométrique ?
Avec P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n). Pour N = 50, K = 10, n = 5 et k = 2, on obtient 0,20984.
En quoi diffère-t-elle de la loi binomiale ?
La loi binomiale vaut avec remise, l’hypergéométrique sans remise. Si l’échantillon est petit devant N, elles sont proches.
Comment calcule-t-on P(X ≥ k) ?
On additionne les probabilités individuelles de k jusqu’à la plus grande valeur possible. Ici P(X ≥ 2) = 0,2581.
Sources et références juridiques
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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