Loi binomiale : calculatrice en ligne
Cette loi binomiale calculatrice donne la probabilité d'obtenir exactement, au plus ou au moins k succès sur n épreuves, avec l'espérance, l'écart type et le tableau complet de la loi.
Exemple : On cherche: au plus k succès : P(X ≤ k) · Nombre d'épreuves n 10 · Probabilité de succès p 0,5 · Nombre de succès k 3 → Probabilité : P(X ≤ 3) = 0,171875 (17,19 %). Source : NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Binomial Distribution. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Sur 10 lancers d'une pièce, la probabilité d'obtenir au plus 3 fois pile est de 17,19 %. La loi binomiale décrit combien de fois un événement de probabilité p se produit sur n épreuves indépendantes.
Comment ça se calcule
Pour exactement k succès, P(X = k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n − k. Pour « au plus », « au moins » et « entre », la calculatrice additionne directement les probabilités concernées plutôt que de passer par 1 − P, ce qui garde une bonne précision même pour de très petites probabilités. L'espérance et la variance valent μ = n · p et σ² = n · p · (1 − p).
Bon à savoir
- Conditions : chaque épreuve n'a que deux issues, p reste constant et les épreuves sont indépendantes (tirage avec remise).
- Pour un tirage sans remise dans une petite population, il faut la loi hypergéométrique ; pour une grande population, la loi binomiale en est une bonne approximation.
- Pour un grand n et un p moyen, la forme ressemble à une loi normale de moyenne n · p et d'écart type √(n · p · (1 − p)).
- Le tableau donne P(X = k), ainsi que les probabilités cumulées P(X ≤ k) et P(X ≥ k), comme les tables des manuels.
Questions fréquentes
Comment calculer une loi binomiale ?
Avec P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k), où C(n, k) est le coefficient binomial « k parmi n ». Pour un intervalle, on additionne les probabilités.
Que signifient « au plus » et « au moins » ?
Au plus k signifie de 0 à k succès, P(X ≤ k). Au moins k signifie de k à n succès, P(X ≥ k). Plus de k signifie P(X > k) = P(X ≥ k + 1).
Quelle est l'espérance et l'écart type ?
L'espérance est μ = n · p et l'écart type σ = √(n · p · (1 − p)). Avec 100 épreuves et p = 0,3, μ = 30 et σ ≈ 4,58.
Quand utiliser la loi binomiale ?
Quand on répète n épreuves identiques et indépendantes à deux issues, avec une probabilité de succès p constante : pièce de monnaie, dé (six ou non), tirage avec remise.
Sources et références juridiques
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Binomial Distribution
- Wikipedia – Binomialverteilung (Wahrscheinlichkeitsfunktion, Erwartungswert, Varianz, Modus)
- W. H. Press u. a.: Numerical Recipes – Gammafunktion (Lanczos-Näherung)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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