Geometrische Verteilung berechnen
Hier können Sie die geometrische Verteilung berechnen: Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die Versuchsnummer k ein. Beispiel: Bei p = 0,2 tritt der erste Erfolg genau im 3. Versuch mit P = 0,128 ein.
Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit p 0,2 · Anzahl k 3 · Gezählt werden: Versuche bis einschließlich zum ersten Erfolg (k ≥ 1) → Ergebnis: P(X = 3) = 0,128 (p = 0,2, erster Erfolg im 3. Versuch). Quelle: Wikipedia – Geometric distribution. Stand: .
So wird gerechnet
Die geometrische Verteilung gibt an, wie viele unabhängige Versuche mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit p nötig sind, bis zum ersten Mal ein Erfolg eintritt.
Formeln
Zählt man die Versuche einschließlich des erfolgreichen, ist P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) · p für k = 1, 2, 3, …; die Wahrscheinlichkeit, spätestens im k-ten Versuch Erfolg zu haben, ist P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k. Der Erwartungswert ist 1/p, die Varianz (1 − p) / p². Zählt man nur die Fehlversuche davor (k = 0, 1, 2, …), gilt P(Y = k) = (1 − p)^k · p und der Erwartungswert (1 − p) / p.
Durchgerechnetes Beispiel
Jeder Versuch gelingt mit p = 0,2. Der erste Erfolg im dritten Versuch bedeutet zwei Fehlschläge und dann einen Treffer: 0,8² · 0,2 = 0,128. Spätestens im dritten Versuch klappt es mit 1 − 0,8³ = 0,488, mehr als drei Versuche sind mit 0,512 nötig. Im Mittel braucht man 1/0,2 = 5 Versuche, die Varianz ist 0,8 / 0,04 = 20. Zählt man nur Fehlversuche, sind drei Fehlversuche vor dem Erfolg mit 0,8³ · 0,2 = 0,1024 möglich, im Mittel 4.
- Die Verteilung ist gedächtnislos: Frühere Fehlversuche ändern die Chance im nächsten Versuch nicht.
- Die Wahrscheinlichkeiten nehmen mit k immer weiter ab; der wahrscheinlichste Wert ist stets der erste Versuch.
- Das stetige Gegenstück ist die Exponentialverteilung.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die geometrische Verteilung?
Mit P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) · p. Für p = 0,2 und k = 3 ist das 0,8² · 0,2 = 0,128.
Was ist der Unterschied zwischen Versuchen und Fehlversuchen?
Bei den Versuchen zählt der erfolgreiche mit (k ≥ 1, Mittel 1/p), bei den Fehlversuchen nicht (k ≥ 0, Mittel (1 − p)/p). Die Wahrscheinlichkeiten sind dieselben, nur um eins verschoben.
Wie viele Versuche braucht man im Durchschnitt?
Im Schnitt 1/p Versuche. Bei einer Trefferquote von 20 % sind das 5 Versuche bis zum ersten Treffer.
Quellen und Rechtsgrundlagen
Stand: · So prüfen wir
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