Calculatrice loi normale
Cette calculatrice loi normale donne, pour une moyenne μ et un écart type σ, la probabilité qu’une valeur soit au plus, au moins ou comprise entre deux bornes. Exemple : pour un QI de moyenne 100 et d’écart type 15, 97,72 % des valeurs sont sous 130.
Exemple : Que voulez-vous calculer: P(X ≤ x) : au plus x · Moyenne μ 100 · Écart type σ 15 · Valeur x (ou borne a) 130 → Probabilité : P(X ≤ 130) = 97,725 %. Source : 1.3.6.6.1, NIST/SEMATECH e-Handbook – Normal distribution. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
La loi normale est la distribution en cloche de nombreuses mesures : taille, erreur de mesure, QI. Elle est déterminée par deux nombres : la moyenne μ (sommet de la cloche) et l’écart type σ (largeur). La calculatrice détermine des aires sous la courbe en cloche, c’est-à-dire des probabilités.
Comment calculer avec la loi normale
- Centrer et réduire : z = (x − μ) / σ. Le score z indique à combien d’écarts types x se trouve de la moyenne.
- Lire Φ(z) : Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite (autrefois lue dans une table, ici calculée). Φ(1,96) = 0,975.
- Combiner : au plus x : Φ(z) ; au moins x : 1 − Φ(z) ; entre a et b : Φ(z₂) − Φ(z₁).
Exemple
La taille des hommes adultes suit une loi normale de moyenne 180 cm et d’écart type 7 cm. Part sous 190 cm : z = (190 − 180) / 7 = 1,43, Φ(1,43) ≈ 0,924, soit environ 92,4 %. Entre 173 et 187 cm se trouve exactement μ ± 1σ, soit 68,27 %.
La règle 68-95-99,7
Environ 68,3 % des valeurs se situent dans μ ± 1σ, 95,4 % dans μ ± 2σ et 99,7 % dans μ ± 3σ. La liste sous le résultat affiche ces intervalles pour vos valeurs.
Quantile : de la probabilité à la valeur
En mode « Quantile », vous saisissez la probabilité et obtenez la valeur x sous laquelle se trouve cette part. Pour 95 % avec μ = 100 et σ = 15, on trouve x ≈ 124,67. C’est la fonction réciproque de Φ (intervalles de confiance, seuils).
Questions fréquentes
Comment calculer une probabilité avec la loi normale ?
Centrez et réduisez d’abord : z = (x − μ) / σ. Prenez ensuite Φ(z). Pour « au plus x », c’est déjà la probabilité ; pour « au moins x », calculez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, Φ(z₂) − Φ(z₁).
Qu’est-ce que le score z ?
Le score z indique de combien d’écarts types une valeur se situe au-dessus (positif) ou au-dessous (négatif) de la moyenne. Il rend comparables des valeurs issues de lois normales différentes.
Que signifie la règle 68-95-99,7 ?
Pour une loi normale, environ 68,3 % des valeurs sont à moins d’un écart type de la moyenne, 95,4 % à moins de deux et 99,7 % à moins de trois.
Pourquoi la probabilité d’une valeur exacte est-elle nulle ?
La loi normale est continue : l’aire sous la courbe au-dessus d’un seul point est nulle. Seuls les intervalles ont un sens (« au plus », « au moins », « entre »). P(X ≤ x) et P(X < x) sont donc identiques.
Comment trouver la valeur correspondant à une probabilité, par exemple le seuil à 95 % ?
Choisissez « Quantile » et saisissez μ, σ et p = 95. La calculatrice donne la valeur x sous laquelle se trouvent 95 % de la loi. Pour la loi normale centrée réduite, c’est 1,645 ; pour 97,5 %, c’est 1,96.
Sources et références juridiques
- 1.3.6.6.1: NIST/SEMATECH e-Handbook – Normal distribution
- DLMF §7: NIST Digital Library of Mathematical Functions – error function erfc and Φ
- Wikipedia – 68–95–99.7 rule
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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