Calculatrice loi de Poisson
Cette calculatrice loi de Poisson donne la probabilité de k événements pour un taux moyen λ. Exemple : avec en moyenne 3 appels par minute, la probabilité d’avoir exactement 2 appels est de 22,4 %.
Exemple : Taux λ (espérance) 3 · On cherche la probabilité de …: exactement k événements : P(X = k) · Nombre k 2 → Probabilité : P(X = 2) = 22,404 %. Source : 1.3.6.6.19, NIST/SEMATECH e-Handbook – Poisson distribution. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
La loi de Poisson décrit combien de fois un événement rare se produit dans une période ou un espace donné, lorsqu’il survient en moyenne λ fois et que les événements sont indépendants. Cas typiques : appels par minute, buts par match, fautes de frappe par page, sinistres par an.
La formule
P(X = k) = λk · e−λ / k!. L’espérance et la variance valent toutes deux λ. Pour « au plus k », on additionne les probabilités de 0 à k ; « au moins k » vaut 1 moins « au plus k − 1 ».
Exemple
Un centre d’appels reçoit en moyenne 3 appels par minute (λ = 3). Exactement 2 appels : 3² · e⁻³ / 2! = 0,2240, soit 22,4 %. Au moins 5 appels : 1 − P(X ≤ 4) = 0,1847, soit 18,5 %. Le tableau affiche les probabilités individuelles et cumulées autour de l’espérance.
Quand la loi de Poisson convient-elle ?
- Les événements surviennent un par un et de façon indépendante.
- Le taux moyen est constant sur la période.
- Plusieurs événements au même instant sont pratiquement exclus.
- Comme approximation de la loi binomiale pour un grand nombre d’essais n et une petite probabilité p, avec λ = n · p.
Pour des probabilités avec n et p fixes, utilisez le calculateur de probabilités (binomiale) ; pour des mesures en cloche, la calculatrice de loi normale.
Questions fréquentes
Comment calculer une probabilité de Poisson ?
Avec P(X = k) = λ^k · e^(−λ) / k!. Il suffit du taux moyen λ et du nombre k voulu. Pour « au plus » ou « au moins », on additionne les probabilités individuelles.
Que représente λ dans la loi de Poisson ?
λ (lambda) est le nombre moyen d’événements dans la période ou la zone considérée. C’est à la fois l’espérance et la variance de la loi.
Comment calculer « au moins k » ?
« Au moins k » est le contraire de « au plus k − 1 » : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). La calculatrice additionne les probabilités individuelles sans perte d’arrondi.
Quand utiliser Poisson plutôt que la loi binomiale ?
Quand le nombre d’essais est très grand et la probabilité individuelle très petite (règle pratique : n ≥ 50 et p ≤ 0,1), ou quand il n’y a pas de nombre d’essais fixe mais seulement un taux par unité de temps.
Peut-on utiliser la loi de Poisson pour les buts au football ?
Comme modèle simple, oui : avec le nombre moyen de buts par match pour λ, on obtient la probabilité de 0, 1, 2 … buts. C’est une approximation, pas une prévision.
Sources et références juridiques
- 1.3.6.6.19: NIST/SEMATECH e-Handbook – Poisson distribution
- DLMF §8: NIST Digital Library of Mathematical Functions – incomplete gamma function
- Wikipedia – Poisson distribution
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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