Calculateur de loi exponentielle
Ce calculateur de loi exponentielle demande le taux λ et une borne x. Exemple : pour un temps d’attente moyen de 2 minutes (λ = 0,5), P(X ≤ 3) = 0,77687.
Exemple : Taux λ 0,5 · Borne x 3 · On cherche: P(X ≤ x) : événement avant x → Résultat : P(X ≤ 3) = 0,77687 (77,687 %), λ = 0,5. Source : Wikipedia – Exponential distribution. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
La loi exponentielle décrit le temps d’attente jusqu’au prochain événement lorsque les événements surviennent indépendamment à taux constant λ, par exemple des appels, des pannes ou des arrivées.
Formules
La densité est f(x) = λ · e^(−λx) pour x ≥ 0. La fonction de répartition est F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx) et le complémentaire P(X > x) = e^(−λx). Pour un intervalle, P(a < X ≤ b) = e^(−λa) − e^(−λb). L’espérance et l’écart type valent tous deux 1/λ, la variance 1/λ² et la médiane ln 2 / λ.
Exemple détaillé
Une ligne d’assistance reçoit en moyenne un appel toutes les 2 minutes, donc λ = 0,5 par minute. Quelle est la probabilité que le prochain appel arrive en 3 minutes au plus ? e^(−1,5) = 0,22313, donc P(X ≤ 3) = 1 − 0,22313 = 0,77687, soit 77,687 %. La densité en x = 3 vaut 0,5 · 0,22313 = 0,111565. La médiane est ln 2 / 0,5 = 1,38629 minute, sous la moyenne de 2, car la loi est asymétrique à droite.
- La loi est sans mémoire : P(X > s + t | X > s) = P(X > t).
- Si λ est un taux par unité de temps, x et λ doivent utiliser la même unité.
- Compter les événements sur une période fixe mène à la loi de Poisson de même λ.
Questions fréquentes
Comment calcule-t-on la loi exponentielle ?
Avec F(x) = 1 − e^(−λx). Pour λ = 0,5 et x = 3, cela donne 1 − e^(−1,5) = 0,77687.
Quelle différence entre le taux λ et la moyenne ?
La moyenne est 1/λ. Si un événement survient toutes les 2 minutes en moyenne, le taux est λ = 0,5 par minute.
Pourquoi la médiane est-elle inférieure à la moyenne ?
La loi est fortement asymétrique à droite : quelques attentes très longues tirent la moyenne vers le haut, alors que la médiane ln 2 / λ ≈ 0,693 / λ reste plus petite.
Sources et références juridiques
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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