Espérance mathématique
Cet outil calcule l’espérance mathématique : saisissez une valeur et sa probabilité par ligne, le reste est fait pour vous. Exemple : −1 avec 50 %, 2 avec 30 % et 10 avec 20 % donnent E(X) = 2,1 et un écart-type de 4,16.
Source : Wikipedia – Erwartungswert. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire est la moyenne de toutes ses valeurs possibles pondérée par leurs probabilités : E(X) = Σ xᵢ·pᵢ. Elle indique la moyenne obtenue après un très grand nombre de répétitions. La variance et l’écart-type montrent la dispersion des valeurs autour d’elle.
Le calcul
À chaque valeur x correspond une probabilité p, et toutes les probabilités totalisent 1. On multiplie chaque valeur par sa probabilité puis on additionne : pour −1 (50 %), 2 (30 %) et 10 (20 %), E(X) = −0,5 + 0,6 + 2 = 2,1. La variance est Var(X) = E(X²) − E(X)², ici 21,7 − 4,41 = 17,29, et l’écart-type σ = √17,29 ≈ 4,16. Pour un dé équilibré, de valeurs 1 à 6 chacune de probabilité 1/6, E(X) = 3,5, Var(X) = 35/12 ≈ 2,92 et σ ≈ 1,71.
Saisie et normalisation
Les probabilités peuvent s’écrire en décimal, en fraction (1/6) ou en pourcentage (16,7 %). Si elles ne totalisent pas exactement 1 à cause des arrondis, l’outil tolère un petit écart ; pour des fréquences relatives ou des poids, « Normaliser les probabilités » divise chaque valeur par leur somme.
- L’espérance n’est pas forcément une valeur possible : avec un dé, 3,5 n’est jamais obtenu.
- Pour un jeu avec une mise, on prend le gain moins la mise ; E(X) = 0 signifie « équitable ».
- Pour la moyenne d’une série de mesures, utilisez plutôt le calculateur de moyenne.
Questions fréquentes
Comment calculer l’espérance mathématique ?
On multiplie chaque valeur possible par sa probabilité et on additionne tous les produits : E(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … Pour un dé, cela donne (1 + 2 + … + 6) / 6 = 3,5.
Que signifie une espérance de 0 dans un jeu ?
À long terme, le gain moyen est nul : gains et pertes se compensent. On parle de jeu équitable. Une espérance négative signifie une perte en moyenne.
Quel lien entre espérance, variance et écart-type ?
La variance est l’espérance du carré de l’écart à l’espérance, Var(X) = E(X²) − E(X)². L’écart-type en est la racine carrée et a la même unité que X.
Sources et références juridiques
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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