PL

Wartość oczekiwana

Ten kalkulator oblicza wartość oczekiwaną: wpisz w każdej linii wartość i jej prawdopodobieństwo, resztą zajmie się narzędzie. Przykład: −1 z 50 %, 2 z 30 % i 10 z 20 % dają E(X) = 2,1 oraz odchylenie standardowe 4,16.

Źródło: Wikipedia – Erwartungswert. Stan na: .

W każdej linii wartość x i jej prawdopodobieństwo p, rozdzielone spacją. p jako liczba dziesiętna (0,25), ułamek (1/4) lub procent (25 %).
Dzieli każde p przez ich sumę, przydatne przy częstościach względnych lub zaokrąglonych wartościach.
Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Wynik
E(X) = 2,1 · Wariancja = 17,29 · Odchylenie standardowe σ = 4,15812
Tabela obliczeń
xpx · px² · p
-10,5-0,50,5
20,30,61,2
100,2220
Suma12,121,7
Obliczenia
  • Wartość oczekiwana E(X) = Σ xᵢ·pᵢ = 2,1 (suma kolumny x · p).
  • E(X²) = Σ xᵢ²·pᵢ = 21,7 (suma kolumny x² · p).
  • Wariancja Var(X) = E(X²) − E(X)² = 21,7 − (2,1)² = 17,29.
  • Odchylenie standardowe σ = √Var(X) = √17,29 = 4,15812.
Wartość oczekiwana to średnia, której można się spodziewać w dłuższej perspektywie, a nie wartość najbardziej prawdopodobna. W grze z wpisowym E(X) = 0 oznacza grę sprawiedliwą.

Jak to obliczamy

Wartość oczekiwana zmiennej losowej to średnia wszystkich możliwych wartości ważona prawdopodobieństwami: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ. Podaje średnią, jaką otrzymamy przy bardzo wielu powtórzeniach. Wariancja i odchylenie standardowe pokazują, jak mocno wartości rozrzucone są wokół niej.

Jak to liczyć

Każdej wartości x odpowiada prawdopodobieństwo p, a wszystkie prawdopodobieństwa dają razem 1. Mnoży się każdą wartość przez jej prawdopodobieństwo i dodaje: dla −1 (50 %), 2 (30 %) i 10 (20 %) mamy E(X) = −0,5 + 0,6 + 2 = 2,1. Wariancja to Var(X) = E(X²) − E(X)², tu 21,7 − 4,41 = 17,29, a odchylenie standardowe σ = √17,29 ≈ 4,16. Dla uczciwej kostki z wartościami od 1 do 6, każda z prawdopodobieństwem 1/6, E(X) = 3,5, Var(X) = 35/12 ≈ 2,92 i σ ≈ 1,71.

Wpisywanie i normalizacja

Prawdopodobieństwa można zapisać jako liczbę dziesiętną, ułamek (1/6) lub procent (16,7 %). Jeśli przez zaokrąglenia nie dają dokładnie 1, kalkulator toleruje niewielką różnicę; przy częstościach względnych lub wagach „Normalizuj prawdopodobieństwa” dzieli każdą wartość przez sumę.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć wartość oczekiwaną?

Pomnóż każdą możliwą wartość przez jej prawdopodobieństwo i zsumuj wszystkie iloczyny: E(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … Dla kostki to (1 + 2 + … + 6) / 6 = 3,5.

Co oznacza wartość oczekiwana 0 w grze?

W dłuższej perspektywie średnia wygrana wynosi zero: wygrane i straty się równoważą. Mówi się o grze sprawiedliwej. Ujemna wartość oczekiwana oznacza przeciętną stratę.

Jak powiązane są wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe?

Wariancja to wartość oczekiwana kwadratu odchylenia od wartości oczekiwanej, Var(X) = E(X²) − E(X)². Odchylenie standardowe jest jej pierwiastkiem i ma tę samą jednostkę co X.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: · Zasady redakcyjne

Podobne narzędzia