Calcul de l’écart type, de la moyenne et de la médiane
Saisissez vos valeurs séparées par des espaces, des points-virgules ou des retours à la ligne. Ce calcul d’écart type affiche les principaux indicateurs statistiques et les étapes du calcul.
Source : section 1.3.5.1, NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – mesures de tendance centrale (moyenne, médiane, mode), en anglais. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Formules utilisées
Pour une série de n valeurs x1, …, xn, la calculatrice applique les définitions du NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods :
Calculer l’écart type en 3 étapes
- Collez vos valeurs dans le champ « Série de valeurs », séparées par un espace, un point-virgule ou un retour à la ligne ; une colonne de tableur fonctionne aussi.
- Déterminez s’il s’agit d’un échantillon (division par n − 1) ou de la population entière (division par n) – le calculateur affiche les deux.
- Lisez moyenne, médiane, mode, variance, écart type et quartiles avec le détail du calcul.
- Moyenne : x̄ = (x1 + … + xn) / n
- Médiane : la valeur centrale de la série rangée ; si n est pair, la moyenne des deux valeurs centrales.
- Mode : la valeur la plus fréquente. Il peut y en avoir plusieurs ; si toutes les valeurs apparaissent autant de fois, il n’y a pas de mode.
- Étendue : maximum − minimum.
- Variance d’échantillon : s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1), écart type s = √s².
- Variance de la population : σ² = Σ(x − x̄)² / n, σ = √σ².
Échantillon ou population ?
Si vos données couvrent toute la population étudiée (par ex. les notes de tous les élèves d’une classe), on divise par n : c’est l’écart type vu au collège et au lycée. Si elles ne sont qu’un échantillon servant à estimer une population plus large (par ex. 50 clients interrogés), on divise par n − 1. Dans Excel : ECARTYPE.PEARSON (n) et ECARTYPE.STANDARD (n − 1).
Exemple
Série : 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9 (n = 8). Somme 40, moyenne 40 / 8 = 5. Les deux valeurs centrales sont 4 et 5, la médiane vaut 4,5. Le mode est 4 (trois fois). Carrés des écarts : 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Population : σ² = 32 / 8 = 4, σ = 2. Échantillon : s² = 32 / 7 ≈ 4,5714, s ≈ 2,1381. Étendue 9 − 2 = 7.
Quartiles
Q1 et Q3 sont calculés par interpolation linéaire (comme QUARTILE.INCLURE dans Excel). Le programme de lycée définit les quartiles comme des valeurs de la série (Q1 = plus petite valeur couvrant au moins 25 % des données) ; les résultats peuvent donc légèrement différer.
Le calcul est numériquement stable (méthode en deux passes corrigée) et reproduit les jeux de données de référence certifiés du NIST.
Autres outils pour vos séries de nombres : le calcul de moyenne avec coefficients, le calcul de pourcentage pour les parts et écarts, et le calculateur de chiffres significatifs pour arrondir proprement.
Tableau d’effectifs, cote z, coefficient de variation et boîte à moustaches
Si vos données forment un tableau d’effectifs, changez « Type de saisie » et écrivez sur chaque ligne la valeur et son effectif : les lignes « 2 1 », « 4 3 », « 5 2 », « 7 1 », « 9 1 » sont les huit mêmes valeurs que dans l’exemple et donnent à nouveau x̄ = 5 et s ≈ 2,1381. Le tableau de calcul affiche alors les colonnes f · x et f · (x − x̄)².
La cote z indique à combien d’écarts types une valeur se trouve de la moyenne : z = (x − x̄) / s. Pour x = 9 : (9 − 5) / 2,1381 ≈ 1,8708. Le coefficient de variation rapporte la dispersion à la moyenne : 2,1381 / 5 ≈ 42,76 %. L’erreur type vaut s / √n = 2,1381 / √8 ≈ 0,7559.
La boîte à moustaches représente Q1, la médiane et Q3 par une boîte. Sont considérées comme aberrantes les valeurs situées à plus de 1,5 fois l’écart interquartile sous Q1 ou au-dessus de Q3 (règle de Tukey) – dans l’exemple, tout ce qui sort de 1,75 à 7,75, donc le 9.
Chaque indicateur en détail : erreur type, coefficient de variation, quartiles selon quatre méthodes et moyenne.
Questions fréquentes
Faut-il diviser par n ou par n − 1 ?
Par n si vos données représentent toute la population (c’est la formule enseignée au collège et au lycée). Par n − 1 si elles forment un échantillon dont on veut estimer la dispersion de la population entière, comme en physique-chimie pour une série de mesures.
Quelle différence entre variance et écart type ?
L’écart type est la racine carrée de la variance. Il s’exprime dans la même unité que les données (par ex. en cm), alors que la variance est en unité au carré (cm²). C’est pourquoi on interprète plutôt l’écart type.
Que signifie « pas de mode » ?
Si chaque valeur apparaît le même nombre de fois (par ex. une seule fois chacune), aucune ne domine : la série n’a pas de mode. Si plusieurs valeurs partagent l’effectif maximal, elles sont toutes affichées (série bimodale ou multimodale).
Moyenne ou médiane : laquelle choisir ?
La médiane résiste aux valeurs extrêmes : pour 1, 2, 3, 4, 100, la moyenne vaut 22 mais la médiane 3. Pour des données asymétriques comme les salaires, la médiane décrit mieux le centre.
Comment saisir des nombres décimaux ?
Avec une virgule, par ex. 12,5. Séparez alors les valeurs par un espace, un point-virgule ou un retour à la ligne.
Pourquoi mes quartiles diffèrent-ils de ceux de ma calculatrice ?
Il existe plusieurs définitions des quartiles. Cette calculatrice utilise l’interpolation linéaire d’Excel, alors que les calculatrices Casio/TI et les manuels de lycée prennent souvent des valeurs de la série. Moyenne, médiane, variance et écart type sont, eux, identiques.
Sources et références juridiques
- section 1.3.5.1: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – mesures de tendance centrale (moyenne, médiane, mode), en anglais
- section 1.3.5.6: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – mesures de dispersion (variance, écart type, étendue), en anglais
- section 7.2.6.2: NIST/SEMATECH e-Handbook – percentiles et quartiles, en anglais
- NIST Statistical Reference Datasets – valeurs certifiées de moyenne et d’écart type (en anglais)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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