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Erwartungswert berechnen

Hier können Sie den Erwartungswert berechnen: Tragen Sie je Zeile einen Wert und seine Wahrscheinlichkeit ein, den Rest erledigt der Rechner. Beispiel: −1 mit 50 %, 2 mit 30 % und 10 mit 20 % ergeben E(X) = 2,1 und eine Standardabweichung von 4,16.

Quelle: Wikipedia – Erwartungswert. Stand: .

Pro Zeile ein Wert x und seine Wahrscheinlichkeit p, getrennt durch Leerzeichen. p als Dezimalzahl (0,25), Bruch (1/4) oder Prozent (25 %).
Teilt alle p durch ihre Summe, nützlich bei relativen Häufigkeiten oder gerundeten Werten.
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Ergebnis

Ergebnis
E(X) = 2,1 · Varianz = 17,29 · Standardabweichung σ = 4,15812
Rechentabelle
xpx · px² · p
-10,5-0,50,5
20,30,61,2
100,2220
Summe12,121,7
Rechenweg
  • Erwartungswert E(X) = Σ xᵢ·pᵢ = 2,1 (Summe der Spalte x · p).
  • E(X²) = Σ xᵢ²·pᵢ = 21,7 (Summe der Spalte x² · p).
  • Varianz Var(X) = E(X²) − E(X)² = 21,7 − (2,1)² = 17,29.
  • Standardabweichung σ = √Var(X) = √17,29 = 4,15812.
Der Erwartungswert ist der Wert, den man auf lange Sicht im Mittel erwarten kann, nicht der wahrscheinlichste Wert. Bei einem Spiel mit Einsatz bedeutet E(X) = 0 ein faires Spiel.

So wird gerechnet

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittelwert aller möglichen Werte: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ. Er sagt, welchen Wert man bei sehr vielen Wiederholungen im Durchschnitt erhält. Die Varianz und die Standardabweichung zeigen, wie stark die Werte um ihn streuen.

So wird gerechnet

Zu jedem Wert x gehört seine Wahrscheinlichkeit p, alle p zusammen ergeben 1. Man multipliziert jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiert: Bei −1 (50 %), 2 (30 %) und 10 (20 %) ist E(X) = −0,5 + 0,6 + 2 = 2,1. Die Varianz ist Var(X) = E(X²) − E(X)², hier 21,7 − 4,41 = 17,29, die Standardabweichung σ = √17,29 ≈ 4,16. Beim fairen Würfel mit den Werten 1 bis 6 und je 1/6 ergibt sich E(X) = 3,5, Var(X) = 35/12 ≈ 2,92 und σ ≈ 1,71.

Eingabe und Normieren

Die Wahrscheinlichkeiten dürfen als Dezimalzahl, Bruch (1/6) oder Prozent (16,7 %) stehen. Summieren sie sich wegen Rundung nicht genau auf 1, toleriert der Rechner eine kleine Abweichung; bei relativen Häufigkeiten oder Gewichten hilft „Wahrscheinlichkeiten normieren“, das alle Werte durch ihre Summe teilt.

Häufige Fragen

Wie berechnet man den Erwartungswert?

Jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren und alle Produkte addieren: E(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … Für einen Würfel sind das (1 + 2 + … + 6) / 6 = 3,5.

Was bedeutet ein Erwartungswert von 0 bei einem Spiel?

Auf lange Sicht ist der durchschnittliche Gewinn null: Gewinne und Verluste gleichen sich aus. Man spricht von einem fairen Spiel. Ein negativer Erwartungswert bedeutet im Mittel einen Verlust.

Wie hängen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung zusammen?

Die Varianz ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung vom Erwartungswert, Var(X) = E(X²) − E(X)². Die Standardabweichung ist ihre Wurzel und hat dieselbe Einheit wie X.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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