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Potenzmenge berechnen

Hier können Sie die Potenzmenge berechnen: Tragen Sie die Elemente Ihrer Menge ein. Beispiel: Die Menge {a, b, c} hat 3 Elemente, ihre Potenzmenge also 2³ = 8 Teilmengen, darunter ∅ und {a, b, c}.

Quelle: Wikipedia – Power set. Stand: .

Elemente durch Komma, Semikolon oder Leerzeichen trennen, z. B. a, b, c oder 1 2 3. Doppelte Elemente zählen nur einmal.
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Ergebnis

Ergebnis
Die Menge M hat n = 3 Elemente; ihre Potenzmenge P(M) hat 2^3 = 8 Teilmengen.
Alle Werte
Elemente je Teilmenge kAnzahl C(n, k)
01
13
23
31
Alle Teilmengen
  • ∅
  • {a}
  • {b}
  • {c}
  • {a, b}
  • {a, c}
  • {b, c}
  • {a, b, c}
Rechenweg
  • Jedes der 3 Elemente ist in einer Teilmenge entweder enthalten oder nicht: 2 · 2 · … · 2 = 2^3 = 8.
  • Kontrolle: C(3, 0) + C(3, 1) + … + C(3, 3) = 8 = 2^3.
Zu jeder Potenzmenge gehören die leere Menge ∅ und die Menge selbst als Teilmengen.

So wird gerechnet

Die Potenzmenge einer Menge M ist die Menge aller ihrer Teilmengen, einschließlich der leeren Menge ∅ und M selbst. Eine Menge mit n Elementen hat genau 2ⁿ Teilmengen.

Warum 2ⁿ?

Jedes Element kann in einer Teilmenge enthalten sein oder nicht, das sind zwei Möglichkeiten. Bei n Elementen multiplizieren sich diese Entscheidungen zu 2 · 2 · … · 2 = 2ⁿ. Sortiert man die Teilmengen nach ihrer Größe k, gibt es zu jedem k genau C(n, k) Stück, und die Summe aller C(n, k) ist wieder 2ⁿ.

Durchgerechnete Beispiele

Für M = {a, b, c} ist n = 3 und die Potenzmenge hat 2³ = 8 Elemente: ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} und {a, b, c}. Nach Größe verteilen sie sich als 1, 3, 3, 1, denn C(3, 0) = 1, C(3, 1) = 3, C(3, 2) = 3 und C(3, 3) = 1. Bei vier Elementen sind es 2⁴ = 16 Teilmengen (1, 4, 6, 4, 1), bei zehn Elementen schon 1024. Die leere Menge hat genau eine Teilmenge, nämlich sich selbst.

Häufige Fragen

Was ist eine Potenzmenge?

Die Menge aller Teilmengen einer Menge, einschließlich ∅ und der Menge selbst. Für {a, b, c} sind das 8 Teilmengen.

Wie viele Elemente hat die Potenzmenge?

2ⁿ bei einer Menge mit n Elementen. Aus 4 Elementen entstehen 16 Teilmengen, aus 10 Elementen 1024.

Ist die leere Menge in der Potenzmenge enthalten?

Ja, ∅ ist Teilmenge jeder Menge und daher immer ein Element der Potenzmenge.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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