べき集合の計算
べき集合の計算では、集合の部分集合を一覧にします。たとえば集合 {a, b, c} は要素が3個なので、べき集合は 2³ = 8 個の部分集合をもち、∅ と {a, b, c} も含まれます。
出典：Wikipedia – Power set。更新日：
計算方法
集合 M のべき集合とは、M のすべての部分集合を集めた集合で、空集合 ∅ と M 自身も含みます。要素が n 個の集合の部分集合は、ちょうど 2ⁿ 個です。
なぜ 2ⁿ 個なのか
各要素は、部分集合に入るか入らないかの2通りです。n 個の要素では、この選び方が掛け合わされて 2 × 2 × … × 2 = 2ⁿ になります。部分集合を要素数 k ごとに分けると、各 k にちょうど C(n, k) 個あり、すべての C(n, k) の和もやはり 2ⁿ です。
計算例
M = {a, b, c} では n = 3 で、べき集合は 2³ = 8 個の要素 ∅、{a}、{b}、{c}、{a, b}、{a, c}、{b, c}、{a, b, c} をもちます。要素数ごとの内訳は 1、3、3、1 で、C(3, 0) = 1、C(3, 1) = 3、C(3, 2) = 3、C(3, 3) = 1 です。要素が4個なら 2⁴ = 16 個（1、4、6、4、1）、10個ならすでに 1024 個です。空集合の部分集合は、空集合自身のただ1つです。
- 要素の順序は関係なく、{a, b} と {b, a} は同じ集合です。
- 個数は急速に増え、20個の要素では100万個を超える部分集合になります。
- べき集合は P(M) または 2^M と書きます。
よくある質問
べき集合とは何ですか。
ある集合のすべての部分集合を集めた集合で、∅ と集合自身も含みます。{a, b, c} では8個の部分集合があります。
べき集合の要素は何個ですか。
n 個の要素をもつ集合なら 2ⁿ 個です。4個なら16個、10個なら1024個です。
空集合はべき集合に含まれますか。
はい。∅ はどの集合の部分集合でもあるため、必ずべき集合の要素になります。
出典・根拠
更新日： · 編集方針
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