Calculatrice de vecteurs avec détail du calcul
Cette calculatrice de vecteurs associe deux vecteurs du plan ou de l’espace : saisissez les coordonnées et obtenez aussitôt la somme, la différence, le produit scalaire, le produit vectoriel, la norme, l’angle et la projection. En choisissant une seule opération, vous voyez le détail du calcul avec vos nombres.
Source : Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Un vecteur décrit un déplacement avec une direction et une longueur ; il se donne par ses coordonnées, trois nombres dans l’espace (x ; y ; z). Pour a = (1 ; 2 ; 3) et b = (4 ; 5 ; 6), par exemple, a + b = (5 ; 7 ; 9) et a · b = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32. L’outil calcule cela pour n’importe quels nombres, décimaux et négatifs compris.
Les opérations en bref
- Somme et différence : on additionne ou soustrait coordonnée par coordonnée. Le multiple k · a allonge ou raccourcit le vecteur ; un k négatif inverse son sens.
- Produit scalaire : a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, un nombre. S’il vaut 0, les vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux).
- Produit vectoriel : dans l’espace, a × b est un vecteur perpendiculaire à a et à b. Sa norme est l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent. Dans le plan, on obtient un seul nombre, la composante z.
- Norme et angle : |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). L’angle découle de cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|) et se situe entre 0° et 180°. Pour des entiers, la racine est aussi donnée sous forme exacte, comme √14.
- Projection : la part de a dans la direction de b vaut (a · b) ÷ (b · b) · b.
Quelle opération choisir ?
Le produit scalaire sert à tester l’orthogonalité et à calculer des angles ; le produit vectoriel, à trouver des aires et des vecteurs normaux, par exemple à un plan. Des vecteurs colinéaires donnent un angle de 0° ou 180°. Pour la droite passant par deux points, utilisez l’équation de droite ; pour les matrices et les déterminants, la calculatrice matrice. Les formules relèvent de la géométrie analytique ; les résultats sont affichés avec quatre décimales.
Questions fréquentes
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs ?
On multiplie les coordonnées correspondantes et on additionne les produits : (1 ; 2 ; 3) · (4 ; 5 ; 6) = 4 + 10 + 18 = 32. Le résultat est un nombre, pas un vecteur.
Comment calculer le produit vectoriel ?
Dans l’espace, avec a × b = (a₂b₃ − a₃b₂ ; a₃b₁ − a₁b₃ ; a₁b₂ − a₂b₁). Le résultat est perpendiculaire aux deux vecteurs ; inverser l’ordre change le signe.
Comment trouver l’angle entre deux vecteurs ?
Avec cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|), puis φ = arccos(…). L’outil donne le résultat en degrés et en radians.
Comment savoir si deux vecteurs sont orthogonaux ou colinéaires ?
Ils sont orthogonaux si le produit scalaire vaut 0. Ils sont colinéaires si l’angle vaut 0° ou 180°, c’est-à-dire si l’un est un multiple de l’autre. Le tableau indique leur position relative.
Quelle est la longueur d’un vecteur ?
C’est sa norme, la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées. Pour (3 ; 4), cela donne √(9 + 16) = 5.
Sources et références juridiques
- Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel)
- Wikipedia – Cross product (produit vectoriel, aire du parallélogramme)
- Wikipedia – Vector projection (projection de a sur b)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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