Calculatrice nombres complexes
Cette calculatrice nombres complexes calcule avec des nombres de la forme a + bi et affiche le résultat, la forme polaire, la forme exponentielle et le module. Exemple : (3 + 4i) · (1 − 2i) = 11 − 2i ; le module de 3 + 4i est 5.
Exemple : Que voulez-vous calculer: Opération entre deux nombres (+ − · ÷) · z₁ : partie réelle a 3 · z₁ : partie imaginaire b 4 · Opération: Multiplication z₁ · z₂ · z₂ : partie réelle c 1 · z₂ : partie imaginaire d -2 → Résultat (forme algébrique) : z = 11 − 2i. Source : Wolfram MathWorld – Complex number. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Un nombre complexe s’écrit z = a + bi, avec a la partie réelle, b la partie imaginaire et i l’unité imaginaire telle que i² = −1. La calculatrice effectue les opérations de base, les puissances et les racines, et donne chaque nombre aussi en forme trigonométrique et exponentielle.
Les règles de calcul
- Addition et soustraction : parties réelle et imaginaire séparément : (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
- Multiplication : développer avec i² = −1 : (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
- Division : multiplier par le conjugué : (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²).
- Module : |z| = √(a² + b²), la longueur du vecteur dans le plan complexe.
Forme trigonométrique et exponentielle
Avec r = |z| et l’argument φ (de −180° à 180°), z = r · (cos φ + i · sin φ) = r · eiφ. Dans cette forme, multiplier revient à multiplier les modules et additionner les arguments ; puissances et racines découlent de la formule de Moivre : zⁿ = rⁿ · (cos nφ + i · sin nφ).
Exemple
(3 + 4i) · (1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i. Vérification avec les modules : 5 · √5 = √125 = 11,18 = |11 − 2i|. Les racines cubiques de 1 sont 1 et −0,5 ± 0,866i : trois points régulièrement répartis sur le cercle unité.
À quoi servent les nombres complexes ?
En électrotechnique pour le courant alternatif (impédance, phase), en traitement du signal (transformée de Fourier), en automatique et en physique quantique – et en mathématiques, pour que toute équation polynomiale ait des solutions.
Questions fréquentes
Comment multiplier des nombres complexes ?
On développe comme avec des parenthèses et on remplace i² par −1 : (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. En forme polaire, on multiplie les modules et on additionne les arguments.
Comment diviser des nombres complexes ?
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le dénominateur devient réel : c² + d². La division par 0 + 0i est impossible.
Comment calculer le module et l’argument ?
Module r = √(a² + b²). L’argument φ se calcule avec atan2(b, a) ; la calculatrice donne la valeur principale entre −180° et 180° (aussi en radians).
Comment calculer la racine d’un nombre complexe ?
Avec la forme polaire : la racine n-ième a pour module ⁿ√r et pour arguments (φ + 360° · k) / n, k allant de 0 à n − 1. Il y a toujours exactement n solutions, toutes affichées.
Qu’est-ce que le conjugué ?
Pour z = a + bi, c’est z̄ = a − bi. Le produit z · z̄ = a² + b² est réel et égal au carré du module.
Sources et références juridiques
- Wolfram MathWorld – Complex number
- DLMF §1.9: NIST Digital Library of Mathematical Functions – complex numbers, de Moivre
- Wikipedia – De Moivre’s formula
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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