Calculatrice de matrices
Cette calculatrice matrice donne le déterminant, l’inverse, la transposée, le rang, la trace, la somme, le produit et la puissance de matrices jusqu’à 8×8. Les résultats sont des fractions exactes, avec les étapes de l’élimination de Gauss.
Source : Wolfram MathWorld – Gaussian elimination. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres ; elle décrit des systèmes d’équations linéaires, des rotations et bien d’autres choses. L’outil travaille avec des fractions exactes : aucune erreur d’arrondi, par exemple pour l’inverse.
Ce que l’outil calcule
- Déterminant : il indique si une matrice carrée est inversible (det ≠ 0). Il est calculé par élimination de Gauss ; chaque échange de lignes change le signe.
- Inverse : la matrice A⁻¹ telle que A · A⁻¹ = I, obtenue par la méthode de Gauss-Jordan et vérifiée automatiquement.
- Rang : le nombre de lignes linéairement indépendantes, lu sur la forme échelonnée.
- Produit : le coefficient (i, j) est la ligne i de A fois la colonne j de B ; A doit donc avoir autant de colonnes que B a de lignes. Contrairement aux nombres, A · B ≠ B · A en général.
- Puissance : Aⁿ par multiplications répétées ; A⁰ est la matrice identité.
Saisie
Une ligne de texte par ligne de la matrice, valeurs séparées par des espaces. Un point-virgule sert aussi de saut de ligne : « 1 2; 3 4 ». Entiers, décimaux avec virgule ou point et fractions comme 3/4 sont acceptés.
Pour résoudre un système d’équations, voir le calcul de systèmes d’équations ; le calcul de fractions simplifie les fractions et la calculatrice aide pour les étapes isolées.
Forme échelonnée réduite, décomposition LU et valeurs propres
- Forme échelonnée réduite : méthode de Gauss-Jordan, chaque opération sur les lignes est affichée. « 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 » devient « 1 0 -1; 0 1 2; 0 0 0 », le rang vaut 2.
- Décomposition LU : P · A = L · U avec L triangulaire inférieure (des 1 sur la diagonale) et U triangulaire supérieure. Les lignes ne sont échangées que si un pivot vaut 0.
- Valeurs propres : les racines rationnelles du polynôme caractéristique det(λI − A) sont trouvées exactement, un facteur quadratique restant exactement avec une racine carrée. Pour « 2 1; 1 2 », λ = 1 et λ = 3, de vecteurs propres (-1; 1) et (1; 1). Le reste est approché et marqué ≈.
- Comatrice transposée : A · adj(A) = det(A) · I.
Vous pouvez coller une matrice depuis un tableur (tabulations entre les cellules). Les écritures [[1, 2], [3, 4]] ou [1 2; 3 4] sont aussi lues.
Questions fréquentes
Comment calculer le déterminant d’une matrice 3×3 ?
On la ramène à une forme triangulaire par élimination de Gauss puis on multiplie la diagonale, ou on applique la règle de Sarrus. L’outil montre les opérations ligne par ligne.
Quand une matrice n’a-t-elle pas d’inverse ?
Quand son déterminant est nul. Les lignes sont alors dépendantes (rang inférieur au nombre de lignes) et le système n’a pas de solution unique.
Comment multiplier deux matrices ?
Chaque coefficient du produit est la somme des produits d’une ligne de A par une colonne de B. Le nombre de colonnes de A doit égaler le nombre de lignes de B.
Que signifie le rang d’une matrice ?
Il indique combien de lignes (ou de colonnes) sont linéairement indépendantes – combien de lignes restent non nulles après l’élimination de Gauss.
Pourquoi l’outil affiche-t-il des fractions plutôt que des décimaux ?
Les fractions sont exactes : 1/3 reste 1/3 au lieu de 0,333…. Pour des décimaux, changez l’affichage.
Comment calculer les valeurs propres d’une matrice ?
Ce sont les racines du polynôme caractéristique det(λI − A). Pour « 2 1; 1 2 », il vaut λ² − 4λ + 3 : les valeurs propres sont 1 et 3. L’outil affiche le polynôme et les vecteurs propres.
Sources et références juridiques
- Wolfram MathWorld – Gaussian elimination
- Wolfram MathWorld – Determinant
- Wolfram MathWorld – Matrix inverse
- Wolfram MathWorld – Eigenvalue
- Wolfram MathWorld – LU decomposition
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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