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ベクトル計算ツール（計算過程つき）

ベクトル計算ツールは、平面または空間の2つのベクトルを成分から計算します。成分を入力すると、和、差、内積、外積、大きさ、なす角、正射影がすぐに表示されます。計算を1つ選べば、入力した数を使った途中式も確認できます。

出典：Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel)。更新日：

ベクトルの実数倍に使います
マイツールボックス入力内容はこのブラウザーにのみ保存されます。

結果

結果
内積 32、なす角 12.9332°
すべての結果
項目値
和 a + b(5, 7, 9)
差 a − b(−3, −3, −3)
2倍 2・a(2, 4, 6)
内積 a・b32
外積 a × b(−3, 6, −3)
大きさ |a|√14 ≈ 3.7417
大きさ |b|√77 ≈ 8.775
aとbのなす角12.9332° (0.2257 rad)
aのb方向への正射影(1.6623, 2.0779, 2.4935)
aの単位ベクトル(0.2673, 0.5345, 0.8018)
bの単位ベクトル(0.4558, 0.5698, 0.6838)
平行四辺形の面積 |a × b|7.3485
2つのベクトルの関係平行でも直交でもない

計算方法

ベクトルは向きと長さをもつ移動を表し、成分で示します。空間では3つの数（x, y, z）で表します。たとえば a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6) なら、a + b = (5, 7, 9)、a・b = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 32です。このツールは、小数や負の数を含めて、どんな数でも計算できます。

計算の種類

どの計算を使うか

内積は垂直の判定やなす角の計算に、外積は面積や平面の法線ベクトルを求めるのに使います。平行なベクトルはなす角が0°または180°になります。2点を通る直線は直線の方程式で、行列や行列式の計算は行列計算で求められます。公式は解析幾何学に基づき、結果は小数第4位まで表示します。

よくある質問

2つのベクトルの内積はどう計算しますか？

対応する成分どうしを掛けて足します。(1, 2, 3)・(4, 5, 6) = 4 + 10 + 18 = 32です。結果はベクトルではなく、1つの数になります。

外積はどう計算しますか？

空間では a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁) で求めます。結果は両方のベクトルに垂直で、順番を入れ替えると符号が変わります。

2つのベクトルのなす角はどう求めますか？

cos φ = (a・b) ÷ (|a|・|b|) を計算し、φ = arccos(…) で角度に直します。このツールは度とラジアンの両方で表示します。

垂直か平行かはどう見分けますか？

内積が0なら垂直です。なす角が0°または180°、つまり一方が他方の実数倍なら平行です。一覧表の「関係」の行で確認できます。

ベクトルの長さはどう求めますか？

成分の2乗の和の平方根で、これを大きさ（ノルム）と呼びます。(3, 4) なら √(9 + 16) = 5です。

出典・根拠

更新日： · 編集方針

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