Vectoren rekenmachine met stappen
Deze vectoren rekenmachine combineert twee vectoren in het vlak of in de ruimte: voer de componenten in en zie direct de som, het verschil, het inproduct, het uitproduct, de lengte, de hoek en de projectie. Kies je één bewerking, dan toont de tool de berekening met jouw getallen.
Bron: Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel). Bijgewerkt: .
Zo wordt het berekend
Een vector beschrijft een verplaatsing met richting en lengte en wordt gegeven door zijn componenten, in de ruimte drie getallen (x; y; z). Voor a = (1; 2; 3) en b = (4; 5; 6) geldt bijvoorbeeld a + b = (5; 7; 9) en a · b = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32. De tool rekent dat voor alle getallen, ook met decimalen en negatieve waarden.
De bewerkingen in het kort
- Som en verschil: component voor component optellen of aftrekken. Het veelvoud k · a rekt of krimpt de vector; een negatieve k keert de richting om.
- Inproduct: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, één getal. Is het 0, dan staan de vectoren loodrecht op elkaar (orthogonaal).
- Uitproduct: in de ruimte is a × b een vector die loodrecht staat op a en b. De lengte ervan is de oppervlakte van het opgespannen parallellogram. In het vlak ontstaat één getal, de z-component.
- Lengte en hoek: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). De hoek volgt uit cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|) en ligt tussen 0° en 180°. Bij gehele getallen staat de wortel ook in exacte vorm, zoals √14.
- Projectie: het deel van a in de richting van b is (a · b) ÷ (b · b) · b.
Welke bewerking wanneer?
Met het inproduct controleer je loodrechtheid en bereken je hoeken, met het uitproduct oppervlakten en normaalvectoren, bijvoorbeeld van vlakken. Evenwijdige vectoren herken je aan een hoek van 0° of 180°. Een rechte lijn door twee punten stel je op met vergelijking van een lijn; matrices en determinanten reken je uit met de matrix rekenmachine. De formules komen uit de analytische meetkunde; resultaten staan met vier decimalen.
Veelgestelde vragen
Hoe bereken je het inproduct van twee vectoren?
Vermenigvuldig de overeenkomstige componenten en tel de producten op: (1; 2; 3) · (4; 5; 6) = 4 + 10 + 18 = 32. De uitkomst is een getal, geen vector.
Hoe bereken je het uitproduct?
In de ruimte met a × b = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁). De uitkomst staat loodrecht op beide vectoren; de volgorde omdraaien verandert het teken.
Hoe vind je de hoek tussen twee vectoren?
Met cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|) en daarna φ = arccos(…). De tool toont het resultaat in graden en in radialen.
Hoe zie ik of vectoren loodrecht of evenwijdig zijn?
Ze zijn loodrecht als het inproduct 0 is. Ze zijn evenwijdig als de hoek 0° of 180° is, dus als de ene een veelvoud van de andere is. Het overzicht noemt de onderlinge ligging.
Hoe lang is een vector?
De lengte is de norm, de wortel uit de som van de kwadraten van de componenten. Voor (3; 4) is dat √(9 + 16) = 5.
Bronnen en wettelijke basis
- Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel)
- Wikipedia – Cross product (uitwendig product, oppervlakte van het parallellogram)
- Wikipedia – Vector projection (projectie van a op b)
Bijgewerkt op: · Redactioneel beleid
Vergelijkbare tools
- Matrix rekenmachineMatrix rekenmachine met tussenstappen: determinant, inverse, rang, gereduceerde trapvorm, LU-ontbinding, eigenwaarden en product, in exacte breuken.
- Vergelijking van een lijn opstellenVergelijking van een lijn opstellen uit twee punten of uit een punt en de richtingscoëfficiënt: vorm y = ax + b, algemene vorm, nulpunt en berekening direct.
- Stelling van Pythagoras berekenenStelling van Pythagoras berekenen: vul twee zijden in en krijg de derde zijde, de hoeken, oppervlakte en hoogte – met exacte wortel, stappen en controle.
- Sinus cosinus tangens berekenenSinus cosinus tangens berekenen: voer een hoek in graden of radialen in en zie alle functies – of zoek de hoek bij een waarde met arcsin, arccos, arctan.
- Rekenmachine onlineGratis online rekenmachine: typ of tik en zie meteen de uitkomst – met volgorde van bewerkingen, haakjes, procent, wortel, tussenstappen en geschiedenis.
- Zwaartepunt van een driehoek berekenenZwaartepunt van een driehoek berekenen uit de coördinaten van de drie hoekpunten: zwaartepunt, oppervlakte en lengte van de zwaartelijnen, met rekenstappen.
- Omlooptijd berekenenOmlooptijd berekenen met de derde wet van Kepler voor satellieten, maan en planeten: uit hoogte of baanstraal, of de baan uit de omlooptijd.
- Driehoek van PascalDriehoek van Pascal tot rij 60: toon een rij of de hele driehoek, werk (a+b)^n en (a−b)^n uit en controleer som, oneven getallen en Fibonacci-getallen.
- Tweecomplement berekenenTweecomplement berekenen voor 4, 8, 16 of 32 bit: een negatief decimaal getal binair maken of een bitreeks lezen, met eencomplement, hex en rekenstappen.