Kalkulator wektorów z obliczeniami krok po kroku
Ten kalkulator wektorów łączy dwa wektory na płaszczyźnie lub w przestrzeni: wpisz współrzędne i od razu zobacz sumę, różnicę, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, długość, kąt i rzut. Po wybraniu jednego działania narzędzie pokaże obliczenia na Twoich liczbach.
Źródło: Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel). Stan na: .
Jak to obliczamy
Wektor opisuje przesunięcie o określonym kierunku i długości i jest zadany swoimi współrzędnymi, w przestrzeni trzema liczbami (x; y; z). Dla a = (1; 2; 3) i b = (4; 5; 6) mamy na przykład a + b = (5; 7; 9) oraz a · b = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32. Narzędzie liczy to dla dowolnych liczb, także dziesiętnych i ujemnych.
Działania w skrócie
- Suma i różnica: dodajemy lub odejmujemy współrzędna po współrzędnej. Wielokrotność k · a wydłuża lub skraca wektor; ujemne k odwraca zwrot.
- Iloczyn skalarny: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, jedna liczba. Jeśli wynosi 0, wektory są prostopadłe (ortogonalne).
- Iloczyn wektorowy: w przestrzeni a × b jest wektorem prostopadłym do obu wektorów. Jego długość to pole rozpiętego równoległoboku. Na płaszczyźnie powstaje jedna liczba, składowa z.
- Długość i kąt: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Kąt wynika z cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|) i leży między 0° a 180°. Dla liczb całkowitych pierwiastek podawany jest też w postaci dokładnej, np. √14.
- Rzut: część a w kierunku b to (a · b) ÷ (b · b) · b.
Które działanie kiedy?
Iloczynem skalarnym sprawdzasz prostopadłość i liczysz kąty, iloczynem wektorowym – pola i wektory normalne, na przykład płaszczyzn. Wektory równoległe dają kąt 0° lub 180°. Prostą przechodzącą przez dwa punkty wyznaczysz w narzędziu równanie prostej, a macierze i wyznaczniki policzysz w kalkulatorze macierzy. Wzory pochodzą z geometrii analitycznej; wyniki podawane są z czterema miejscami po przecinku.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć iloczyn skalarny dwóch wektorów?
Mnożymy odpowiadające sobie współrzędne i dodajemy iloczyny: (1; 2; 3) · (4; 5; 6) = 4 + 10 + 18 = 32. Wynik jest liczbą, nie wektorem.
Jak obliczyć iloczyn wektorowy?
W przestrzeni według wzoru a × b = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁). Wynik jest prostopadły do obu wektorów; zamiana kolejności zmienia znak.
Jak znaleźć kąt między dwoma wektorami?
Ze wzoru cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|), a potem φ = arccos(…). Narzędzie podaje wynik w stopniach i w radianach.
Skąd wiem, czy wektory są prostopadłe lub równoległe?
Są prostopadłe, gdy iloczyn skalarny wynosi 0. Są równoległe, gdy kąt wynosi 0° lub 180°, czyli gdy jeden jest wielokrotnością drugiego. Zestawienie podaje ich położenie.
Jaką długość ma wektor?
Jego długość to moduł, pierwiastek z sumy kwadratów współrzędnych. Dla (3; 4) jest to √(9 + 16) = 5.
Źródła i podstawa prawna
- Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel)
- Wikipedia – Cross product (iloczyn wektorowy, pole równoległoboku)
- Wikipedia – Vector projection (rzut a na b)
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Współrzędne biegunowe: z (x, y) na (r, φ) i z powrotemWspółrzędne biegunowe: zamień współrzędne kartezjańskie (x, y) na biegunowe (r, φ) i odwrotnie, w stopniach lub radianach, z właściwą ćwiartką.
- Kalkulator macierzyKalkulator macierzy z rozwiązaniem: wyznacznik, macierz odwrotna, rząd, postać schodkowa zredukowana, rozkład LU, wartości własne – dokładnie w ułamkach.
- Równanie prostej – przez dwa punkty lub ze współczynnikiem kierunkowymRównanie prostej przez dwa punkty lub z punktu i współczynnika kierunkowego: postać kierunkowa, ogólna, parametryczna, miejsce zerowe i obliczenia od razu.
- Twierdzenie Pitagorasa – kalkulatorKalkulator z twierdzenia Pitagorasa: wpisz dwa boki, a dostaniesz trzeci, kąty, pole i wysokość – z dokładnym pierwiastkiem, obliczeniami i sprawdzeniem.
- Kalkulator sinus cosinus tangensKalkulator sinus cosinus tangens: wpisz kąt w stopniach lub radianach i zobacz wszystkie funkcje – albo znajdź kąt dla wartości (arcsin, arccos, arctan).
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Środek ciężkości trójkąta: kalkulatorŚrodek ciężkości trójkąta ze współrzędnych trzech wierzchołków: punkt S, pole oraz długości środkowych, z obliczeniami krok po kroku i przykładem.
- Odległość punktu od prostejOblicz odległość punktu od prostej na płaszczyźnie (Ax + By + C = 0, y = ax + b lub dwa punkty) albo w przestrzeni, z rzutem prostokątnym i obliczeniami.
- Równanie okręguRównanie okręgu ze środka i promienia, z postaci ogólnej lub z trzech punktów, z obiema postaciami, obwodem, polem i położeniem punktu względem okręgu.