Calculadora de vetores passo a passo
Esta calculadora de vetores combina dois vetores do plano ou do espaço: digite as componentes e veja na hora a soma, a diferença, o produto escalar, o produto vetorial, o módulo, o ângulo e a projeção. Se escolher uma única operação, a ferramenta mostra a conta com os seus números.
Fonte: Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel). Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
Um vetor descreve um deslocamento com direção e comprimento e é dado por suas componentes, no espaço três números (x; y; z). Para a = (1; 2; 3) e b = (4; 5; 6), por exemplo, a + b = (5; 7; 9) e a · b = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32. A ferramenta calcula isso para quaisquer números, inclusive decimais e negativos.
As operações num relance
- Soma e diferença: soma-se ou subtrai-se componente a componente. O múltiplo k · a estica ou encolhe o vetor; um k negativo inverte o sentido.
- Produto escalar: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, um número. Se for 0, os vetores são perpendiculares (ortogonais).
- Produto vetorial: no espaço, a × b é um vetor perpendicular aos dois vetores. Seu módulo é a área do paralelogramo que eles formam. No plano resulta um único número, a componente z.
- Módulo e ângulo: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). O ângulo vem de cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|) e fica entre 0° e 180°. Com números inteiros, a raiz também aparece na forma exata, como √14.
- Projeção: a parte de a na direção de b é (a · b) ÷ (b · b) · b.
Qual operação usar?
O produto escalar serve para testar ortogonalidade e calcular ângulos; o vetorial, para áreas e vetores normais, por exemplo de um plano. Vetores paralelos dão ângulo de 0° ou 180°. Para a reta que passa por dois pontos, use a equação da reta; para matrizes e determinantes, a calculadora de matrizes. As fórmulas vêm da geometria analítica; os resultados são exibidos com quatro casas decimais.
Perguntas frequentes
Como calcular o produto escalar de dois vetores?
Multiplicam-se as componentes correspondentes e somam-se os produtos: (1; 2; 3) · (4; 5; 6) = 4 + 10 + 18 = 32. O resultado é um número, não um vetor.
Como calcular o produto vetorial?
No espaço, com a × b = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁). O resultado é perpendicular aos dois vetores; trocar a ordem inverte o sinal.
Como achar o ângulo entre dois vetores?
Com cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|) e depois φ = arccos(…). A ferramenta mostra o resultado em graus e em radianos.
Como saber se dois vetores são ortogonais ou paralelos?
São ortogonais se o produto escalar é 0. São paralelos se o ângulo é 0° ou 180°, isto é, se um é múltiplo do outro. A tabela indica a posição relativa.
Qual é o comprimento de um vetor?
É o módulo, a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. Para (3; 4), é √(9 + 16) = 5.
Fontes e base legal
- Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel)
- Wikipedia – Cross product (produto vetorial, área do paralelogramo)
- Wikipedia – Vector projection (projeção de a sobre b)
Última atualização: · Princípios editoriais
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