Distance d’un point à une droite
Cet outil calcule la distance d’un point à une droite avec la formule d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Du point (5 ; 5) à la droite 3x + 4y − 10 = 0, la distance vaut 5. Il accepte aussi la droite sous la forme y = mx + p ou par deux points, fonctionne dans l’espace et donne le projeté orthogonal.
Exemple : Droite donnée par: Équation cartésienne ax + by + c = 0 · Point : x₀ 5 · Point : y₀ 5 · a (coefficient de x) 3 · b (coefficient de y) 4 · c (terme constant) -10 → Distance : d = 5. Source : OpenStax Calculus Volume 3, 2.5 Equations of Lines and Planes in Space – distance = length of the perpendicular segment; Theorem 2.12 d = ‖PM × v‖/‖v‖, Example 2.47 (M(1, 1, 3), P(3, −1, 3), v = ⟨4, 2, 1⟩, PM × v = 2i + 2j − 12k); Theorem 2.14 point–plane distance |ax0 + by0 + cz0 + k|/√(a² + b² + c²) (read 10.10.2026). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
La distance du point P(x₀ ; y₀) à la droite ax + by + c = 0 vaut d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) : la valeur absolue du point remplacé dans l’équation, divisée par la longueur du vecteur normal (a ; b). C’est la longueur du segment perpendiculaire qui relie le point à la droite, comme la définit le manuel OpenStax Calculus. Le manuel donne la formule pour un point et un plan, |ax₀ + by₀ + cz₀ + k| / √(a² + b² + c²) ; avec c = 0 et z₀ = 0, on obtient la formule dans le plan (calculé).
Exemples de distance d’un point à une droite
| Droite | Point | Distance |
|---|---|---|
| 3x + 4y − 10 = 0 | (5 ; 5) | 5 |
| 3x + 4y + 5 = 0 | (0 ; 0) | 1 |
| 5x + 12y − 3 = 0 | (2 ; 1) | 1,46 |
| x − y + 2 = 0 | (3 ; 1) | 2,83 |
| 2x − y + 1 = 0 | (1 ; −2) | 2,24 |
| y − 4 = 0 | (3 ; 1) | 3 |
| x + 2 = 0 | (5 ; −1) | 7 |
| 4x − 3y = 0 | (1 ; 7) | 3,4 |
Étape par étape avec la première ligne : numérateur |3 × 5 + 4 × 5 − 10| = 25, dénominateur √(3² + 4²) = 5, distance 25 ÷ 5 = 5. Si la droite est donnée par y = mx + p, on l’écrit mx − y + p = 0 ; si elle passe par deux points A et B, a = y₂ − y₁, b = x₁ − x₂ et c = x₂y₁ − x₁y₂. Une distance nulle signifie que le point appartient à la droite.
Distance d’un point à une droite dans l’espace
Dans l’espace, il n’y a pas d’équation ax + by + c = 0. OpenStax prend un point P de la droite et son vecteur directeur v : d = ‖PM × v‖ / ‖v‖, car PM et v forment un parallélogramme de base ‖v‖ et de hauteur d. Dans son exemple 2.47, M(1 ; 1 ; 3), P(3 ; −1 ; 3) et v = ⟨4 ; 2 ; 1⟩ donnent PM × v = 2i + 2j − 12k et d = √152 / √21 ≈ 2,69. Choisissez le mode « Dans l’espace » pour ce cas.
La distance entre deux points se calcule avec la distance entre deux points ; l’équation d’une droite à partir de points ou du coefficient directeur, avec l’outil équation de droite.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la distance d’un point à une droite ?
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) pour la droite ax + by + c = 0 et le point (x₀ ; y₀). Du point (5 ; 5) à 3x + 4y − 10 = 0 : 25 ÷ 5 = 5.
Comment faire si la droite est donnée par y = mx + p ?
On l’écrit sous forme cartésienne mx − y + p = 0, soit a = m, b = −1 et c = p. L’outil le fait seul dans le mode « Équation réduite ».
Pourquoi une valeur absolue ?
Une distance n’est jamais négative. Le signe de ax₀ + by₀ + c indique seulement de quel côté de la droite se trouve le point.
Qu’est-ce que le projeté orthogonal ?
Le point de la droite le plus proche du point donné, là où la perpendiculaire coupe la droite. Pour (5 ; 5) et 3x + 4y − 10 = 0, c’est (2 ; 1).
Comment calculer dans l’espace ?
Avec un point P de la droite et son vecteur directeur v : d = ‖PM × v‖ / ‖v‖ (OpenStax, théorème 2.12). Pour l’exemple du manuel, on trouve environ 2,69.
Sources et références juridiques
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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