Calcolatrice di vettori con i passaggi
Questa calcolatrice di vettori combina due vettori nel piano o nello spazio: inserisci le componenti e vedi subito somma, differenza, prodotto scalare, prodotto vettoriale, modulo, angolo e proiezione. Se scegli una sola operazione, lo strumento mostra i passaggi con i tuoi numeri.
Fonte: Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel). Aggiornato al: .
Come si calcola
Un vettore descrive uno spostamento con direzione e lunghezza e si indica con le sue componenti, nello spazio tre numeri (x; y; z). Per a = (1; 2; 3) e b = (4; 5; 6), per esempio, a + b = (5; 7; 9) e a · b = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32. Lo strumento lo calcola per qualsiasi numero, anche decimale o negativo.
Le operazioni in breve
- Somma e differenza: si somma o si sottrae componente per componente. Il multiplo k · a allunga o accorcia il vettore; un k negativo ne inverte il verso.
- Prodotto scalare: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, un numero. Se vale 0, i vettori sono perpendicolari (ortogonali).
- Prodotto vettoriale: nello spazio a × b è un vettore perpendicolare a entrambi. Il suo modulo è l’area del parallelogramma che formano. Nel piano risulta un solo numero, la componente z.
- Modulo e angolo: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). L’angolo deriva da cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|) e sta tra 0° e 180°. Con numeri interi la radice compare anche in forma esatta, come √14.
- Proiezione: la parte di a nella direzione di b è (a · b) ÷ (b · b) · b.
Quale operazione usare?
Il prodotto scalare serve a verificare l’ortogonalità e a calcolare angoli; quello vettoriale, per aree e vettori normali, per esempio a un piano. Vettori paralleli danno un angolo di 0° o 180°. Per la retta per due punti usa l’equazione della retta; per matrici e determinanti la calcolatrice matrici. Le formule appartengono alla geometria analitica; i risultati sono mostrati con quattro decimali.
Domande frequenti
Come si calcola il prodotto scalare di due vettori?
Si moltiplicano le componenti corrispondenti e si sommano i prodotti: (1; 2; 3) · (4; 5; 6) = 4 + 10 + 18 = 32. Il risultato è un numero, non un vettore.
Come si calcola il prodotto vettoriale?
Nello spazio con a × b = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁). Il risultato è perpendicolare a entrambi i vettori; scambiare l’ordine cambia il segno.
Come si trova l’angolo tra due vettori?
Con cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|) e poi φ = arccos(…). Lo strumento mostra il risultato in gradi e in radianti.
Come capisco se due vettori sono ortogonali o paralleli?
Sono ortogonali se il prodotto scalare è 0. Sono paralleli se l’angolo è 0° o 180°, cioè se uno è multiplo dell’altro. La tabella indica la posizione reciproca.
Quanto è lungo un vettore?
La sua lunghezza è il modulo, la radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti. Per (3; 4) è √(9 + 16) = 5.
Fonti e riferimenti normativi
- Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel)
- Wikipedia – Cross product (prodotto vettoriale, area del parallelogramma)
- Wikipedia – Vector projection (proiezione di a su b)
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