Vektorrechner mit Rechenweg
Der Vektorrechner verknüpft zwei Vektoren in der Ebene oder im Raum: Sie tragen die Komponenten ein und sehen sofort Summe, Differenz, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Länge, Winkel und Projektion. Wählen Sie eine einzelne Rechnung, zeigt das Tool den Rechenweg mit Ihren Zahlen Schritt für Schritt.
Quelle: Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel). Stand: .
So wird gerechnet
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung mit Richtung und Länge und wird durch seine Komponenten angegeben, im Raum durch drei Zahlen (x | y | z). Für die Vektoren a = (1 | 2 | 3) und b = (4 | 5 | 6) gilt zum Beispiel a + b = (5 | 7 | 9) und a · b = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32. Das Tool rechnet das für beliebige Zahlen, auch mit Dezimalstellen und negativen Werten.
Die Rechenarten im Überblick
- Summe und Differenz: komponentenweise addieren oder subtrahieren. Das Vielfache k · a streckt oder staucht den Vektor, ein negatives k kehrt die Richtung um.
- Skalarprodukt: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, eine Zahl. Ist es 0, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander (orthogonal).
- Kreuzprodukt: a × b ist im Raum ein Vektor, der senkrecht auf a und b steht. Sein Betrag ist die Fläche des aufgespannten Parallelogramms. In der Ebene entsteht eine einzelne Zahl, die z-Komponente.
- Betrag und Winkel: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Der Winkel folgt aus cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|) und liegt zwischen 0° und 180°. Bei ganzen Zahlen steht die Wurzel auch in exakter Form, etwa √14.
- Projektion: Der Anteil von a in Richtung b ist (a · b) ÷ (b · b) · b.
Wann welche Rechnung?
Mit dem Skalarprodukt prüfen Sie Orthogonalität und berechnen Winkel, mit dem Kreuzprodukt Flächen und Normalenvektoren, etwa von Ebenen. Parallele Vektoren erkennen Sie am Winkel 0° oder 180°. Eine Gerade durch zwei Punkte mit Richtungsvektor stellen Sie mit der Geradengleichung auf, Matrizen und Determinanten rechnen Sie im Matrizenrechner. Die Formeln stammen aus der analytischen Geometrie; die Ergebnisse werden auf vier Nachkommastellen angezeigt.
Häufige Fragen
Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren?
Man multipliziert die gleichen Komponenten und addiert die Produkte: (1 | 2 | 3) · (4 | 5 | 6) = 4 + 10 + 18 = 32. Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor.
Wie berechnet man das Kreuzprodukt?
Im Raum nach der Formel a × b = (a₂b₃ − a₃b₂ | a₃b₁ − a₁b₃ | a₁b₂ − a₂b₁). Das Ergebnis steht senkrecht auf beiden Vektoren; die Reihenfolge ändert das Vorzeichen.
Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?
Mit cos φ = (a · b) ÷ (|a| · |b|). Der Taschenrechner liefert dann φ = arccos(…). Das Tool zeigt das Ergebnis in Grad und im Bogenmaß.
Woran erkenne ich, ob Vektoren orthogonal oder parallel sind?
Orthogonal, wenn das Skalarprodukt 0 ist. Parallel, wenn der Winkel 0° oder 180° beträgt, wenn also ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist. Das Tool nennt die Lage in der Übersicht.
Wie lang ist ein Vektor?
Seine Länge ist der Betrag, die Wurzel aus der Summe der Komponentenquadrate. Für (3 | 4) ist das √(9 + 16) = 5.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wikipedia – Dot product (Skalarprodukt, Winkelformel)
- Wikipedia – Cross product (Kreuzprodukt, Flächeninhalt des Parallelogramms)
- Wikipedia – Vector projection (Projektion von a auf b)
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