Calculatrice de la loi bêta
Calculez la loi bêta de paramètres de forme α et β : densité f(x), probabilité cumulée P(X ≤ x) et P(X > x), espérance, médiane, mode, variance, asymétrie et quantile pour une probabilité p.
Exemple : Paramètre de forme α (alpha) 2 · Paramètre de forme β (bêta) 5 · Valeur x (entre 0 et 1) 0,3 · Probabilité p pour le quantile 0,95 → Résultat : P(X ≤ 0,3) = 0,579825 · densité f(0,3) = 2,1609. Source : NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.17 Beta Distribution: f(x) = x^(p−1)(1−x)^(q−1)/B(p,q), F(x) = I_x(p,q), mean p/(p+q), mode (p−1)/(p+q−2), standard deviation, skewness (read 15.10.2026). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
La loi bêta décrit une proportion ou une probabilité comprise entre 0 et 1. Ses deux paramètres de forme α et β fixent où se trouve la masse : avec α = 2 et β = 5, l’espérance vaut 2 ÷ 7 = 0,2857 et P(X ≤ 0,3) = 0,5798.
Formules
- Densité : f(x) = xα−1 (1 − x)β−1 ÷ B(α, β)
- Fonction de répartition : F(x) = Ix(α, β), la fonction bêta incomplète régularisée
- Espérance α ÷ (α + β) ; mode (α − 1) ÷ (α + β − 2) si α, β > 1
- Variance αβ ÷ ((α + β)² (α + β + 1))
Pour des entiers, la loi binomiale sert de contrôle : I0,5(2, 3) est la probabilité d’au moins 2 succès en 4 essais avec p = 0,5, soit 11 ÷ 16 = 0,6875. Vérifiez-le avec la calculatrice de la loi binomiale.
Exemples
| α | β | Espérance | P(X ≤ 0,5) |
|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 0,2857 | 0,8906 |
| 5 | 2 | 0,7143 | 0,1094 |
| 2 | 2 | 0,5 | 0,5 |
| 10 | 30 | 0,25 | 0,9995 |
Échanger α et β donne la loi symétrique par rapport à 0,5. Avec α = β = 1, c’est la loi uniforme ; avec les deux paramètres inférieurs à 1, la densité est en U et maximale aux bords.
Utilisations
Comme loi a priori et a posteriori d’un taux de succès (tests A/B bayésiens : α = succès + 1, β = échecs + 1), dans les estimations PERT et pour les proportions en général. Lois voisines : la loi exponentielle pour les durées et la loi normale, dont la loi bêta se rapproche quand α et β sont grands.
Questions fréquentes
Comment calculer la fonction de répartition de la loi bêta ?
F(x) = I_x(α, β), la fonction bêta incomplète régularisée. Elle n’a pas de forme fermée simple ; la calculatrice utilise la fraction continue de NIST DLMF 8.17.22. Exemple : α = 2, β = 5 donne P(X ≤ 0,3) = 0,5798.
Quelle est l’espérance de la loi bêta ?
α ÷ (α + β). Pour α = 2 et β = 5, elle vaut 0,2857.
Quel est le mode de la loi bêta ?
(α − 1) ÷ (α + β − 2) si les deux paramètres dépassent 1 ; pour α = 2 et β = 5, il vaut 0,2. Avec un paramètre inférieur ou égal à 1, le maximum est au bord.
Que signifie Bêta(1, 1) ?
C’est la loi uniforme sur [0, 1] : toutes les valeurs sont également probables et P(X ≤ x) = x.
Comment choisir α et β à partir de données ?
Pour un taux de succès : α = succès + 1 et β = échecs + 1 (a priori uniforme). 20 succès sur 80 essais donnent Bêta(21, 61), d’espérance 0,256.
Sources et références juridiques
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.17 Beta Distribution: f(x) = x^(p−1)(1−x)^(q−1)/B(p,q), F(x) = I_x(p,q), mean p/(p+q), mode (p−1)/(p+q−2), standard deviation, skewness (read 15.10.2026)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions §8.17(v), Eq. 8.17.22–8.17.23: continued fraction for the incomplete beta function I_x(a,b), symmetry 8.17.4 (read 15.10.2026)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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