Calculatrice de la loi de Weibull
Évaluez la loi de Weibull à deux paramètres en une valeur x et obtenez les grandeurs usuelles de fiabilité et de maintenance, de la probabilité de défaillance à la durée de vie B10.
Exemple : Paramètre de forme β (k) 2 · Paramètre d’échelle η (λ) 10 · Valeur x (par ex. temps ou charge) 5 · Probabilité pour le quantile (%) 10 → Résultat : F(5) = 0,221199, f(5) = 0,0778801. Source : NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.8 Weibull Distribution: pdf, cdf, hazard function, percent point function, mean Γ((γ+1)/γ), median ln(2)^(1/γ), mode and standard deviation (read 14.10.2026). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
La loi de Weibull a pour fonction de répartition F(x) = 1 − e^(−(x/η)^β) et pour densité f(x) = (β/η)·(x/η)^(β−1)·e^(−(x/η)^β). Avec β = 2, η = 10 et x = 5, la probabilité de défaillance jusqu’à x vaut 0,221199 et la densité 0,0778801. En fiabilité, on note β la forme, η l’échelle et γ la position ; on rencontre aussi k et λ.
Formules
- Fiabilité (survie) : R(x) = 1 − F(x) = e^(−(x/η)^β)
- Taux de défaillance : h(x) = f(x)/R(x) = (β/η)·(x/η)^(β−1)
- Moyenne (MTTF) : η·Γ(1 + 1/β) ; médiane : η·(ln 2)^(1/β)
- Mode : η·((β − 1)/β)^(1/β) si β > 1, sinon 0
- Écart type : η·√(Γ(1 + 2/β) − Γ(1 + 1/β)²)
- Quantile : x_p = η·(−ln(1 − p))^(1/β) ; avec p = 10 %, c’est la durée de vie B10.
En x = η, la fonction de répartition vaut toujours 1 − e^(−1) ≈ 0,632121, quel que soit β ; c’est pourquoi η s’appelle la durée de vie caractéristique. Avec β = 1, la loi de Weibull devient la loi exponentielle ; avec β = 2, la loi de Rayleigh. La fonction Γ se calcule avec la fonction gamma.
Effet du paramètre de forme (η = 10, x = 5)
| β | F(5) | Moyenne | Médiane | B10 |
|---|---|---|---|---|
| 0,5 | 0,506931 | 20 | 4,80453 | 0,111008 |
| 1 | 0,393469 | 10 | 6,931472 | 1,053605 |
| 2 | 0,221199 | 8,862269 | 8,325546 | 3,245928 |
| 3,5 | 0,084595 | 8,997472 | 9,005785 | 5,257328 |
Un β petit disperse fortement les défaillances : avec β = 0,5, la moitié des unités tombe en panne avant 4,80453 alors que la moyenne vaut 20. Un β grand les concentre autour de η. En maintenance, β < 1, β ≈ 1 et β > 1 correspondent aux trois zones de la « courbe en baignoire » : jeunesse, défaillances aléatoires, usure. Voir aussi le calcul de durée de vie d’un roulement (durée L10) et la loi normale.
Limites
L’outil utilise la forme à deux paramètres (position γ = 0) ; la loi de Weibull à 3 paramètres décale simplement x de γ. Il évalue la loi pour des paramètres connus et n’estime pas β ni η à partir de données de défaillance.
Questions fréquentes
Que signifient β et η dans la loi de Weibull ?
β est la forme : en dessous de 1, le taux de défaillance diminue ; à 1, il est constant ; au-dessus de 1, il augmente. η est l’échelle ou durée de vie caractéristique : jusqu’à x = η, 63,2 % des unités sont tombées en panne.
Quelle est la formule de la loi de Weibull ?
F(x) = 1 − e^(−(x/η)^β). Avec β = 2, η = 10 et x = 5 : 1 − e^(−0,25) ≈ 0,221199. La fiabilité est R(x) = e^(−(x/η)^β) ≈ 0,778801.
Comment calculer la moyenne (MTTF) d’une loi de Weibull ?
η·Γ(1 + 1/β). Avec β = 2 et η = 10 : 10·Γ(1,5) ≈ 8,862269.
Qu’est-ce que la durée de vie B10 ?
Le temps au bout duquel 10 % des unités sont tombées en panne : η·(−ln 0,9)^(1/β). Avec β = 2 et η = 10, environ 3,245928.
La loi exponentielle est-elle un cas particulier de Weibull ?
Oui : avec β = 1, la loi de Weibull devient la loi exponentielle de moyenne η, avec un taux de défaillance constant.
Sources et références juridiques
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.8 Weibull Distribution: pdf, cdf, hazard function, percent point function, mean Γ((γ+1)/γ), median ln(2)^(1/γ), mode and standard deviation (read 14.10.2026)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: gamma function Γ(z) used for mean and standard deviation (read 14.10.2026)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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