PL

Rozkład normalny kalkulator

Ten rozkład normalny kalkulator podaje dla średniej μ i odchylenia standardowego σ prawdopodobieństwo, że wartość jest co najwyżej, co najmniej lub między dwiema granicami. Przykład: przy IQ o μ = 100 i σ = 15 poniżej 130 jest 97,72 % wyników.

Przykład: Co chcesz obliczyć: P(X ≤ x): co najwyżej x · Średnia μ 100 · Odchylenie standardowe σ 15 · Wartość x (lub granica a) 130 → Prawdopodobieństwo: P(X ≤ 130) = 97,725%. Źródło: 1.3.6.6.1, NIST/SEMATECH e-Handbook – Normal distribution. Stan na: .

wartość oczekiwana rozkładu
musi być większe od 0
Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Prawdopodobieństwo
P(X ≤ 130) = 97,725%
Jako liczba dziesiętna
P(X ≤ 130) = 0,97725
Wynik z (standaryzacja)
z = (130 − 100) / 15 = 2
Zdarzenie przeciwne
Zdarzenie przeciwne zachodzi z prawdopodobieństwem: 2,275%
Obliczenia krok po kroku
  • X ~ N(100; 15²)
  • z = (x − μ) / σ = 2
  • Φ(2) = 0,97725
  • f(130) = 0,003599398
Reguła 68-95-99,7
  • μ ± 1σ (85 do 115): 68,269%
  • μ ± 2σ (70 do 130): 95,45%
  • μ ± 3σ (55 do 145): 99,73%

Jak to obliczamy

Rozkład normalny to dzwonowaty rozkład wielu pomiarów, takich jak wzrost, błąd pomiaru czy iloraz inteligencji. Wyznaczają go dwie liczby: średnia μ (szczyt dzwonu) i odchylenie standardowe σ (szerokość). Kalkulator wylicza pola pod krzywą dzwonową, czyli prawdopodobieństwa.

Jak liczyć w rozkładzie normalnym

  1. Standaryzacja: z = (x − μ) / σ. Wynik z mówi, o ile odchyleń standardowych x leży od średniej.
  2. Odczyt Φ(z): Φ to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego (dawniej z tablic, tu obliczona). Φ(1,96) = 0,975.
  3. Połączenie wyników: co najwyżej x: Φ(z); co najmniej x: 1 − Φ(z); między a i b: Φ(z₂) − Φ(z₁).

Przykład

Załóżmy, że wzrost dorosłych mężczyzn ma rozkład normalny z μ = 180 cm i σ = 7 cm. Odsetek poniżej 190 cm: z = (190 − 180) / 7 = 1,43, Φ(1,43) ≈ 0,924, czyli około 92,4 %. Między 173 a 187 cm mieści się dokładnie μ ± 1σ, czyli 68,27 %.

Reguła 68-95-99,7

W przedziale μ ± 1σ leży około 68,3 % wartości, w μ ± 2σ około 95,4 %, a w μ ± 3σ około 99,7 %. Lista pod wynikiem pokazuje te przedziały dla Twoich liczb.

Kwantyl: od prawdopodobieństwa do wartości

W trybie „Kwantyl” podajesz prawdopodobieństwo i dostajesz wartość x, poniżej której leży ta część rozkładu. Dla 95 % przy μ = 100 i σ = 15 wychodzi x ≈ 124,67. To funkcja odwrotna do Φ (przedziały ufności, wartości graniczne).

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć prawdopodobieństwo w rozkładzie normalnym?

Najpierw standaryzuj: z = (x − μ) / σ. Potem weź Φ(z). Dla „co najwyżej x” to już jest prawdopodobieństwo; dla „co najmniej x” liczysz 1 − Φ(z); dla przedziału Φ(z₂) − Φ(z₁).

Czym jest wynik z?

Wynik z pokazuje, o ile odchyleń standardowych wartość leży powyżej (dodatni) lub poniżej (ujemny) średniej. Dzięki temu można porównywać wartości z różnych rozkładów normalnych.

Co oznacza reguła 68-95-99,7?

W rozkładzie normalnym około 68,3 % wartości leży nie dalej niż jedno odchylenie standardowe od średniej, 95,4 % nie dalej niż dwa, a 99,7 % nie dalej niż trzy.

Dlaczego prawdopodobieństwo dokładnej wartości wynosi 0?

Rozkład normalny jest ciągły: pole pod krzywą nad pojedynczym punktem to zero. Sens mają tylko przedziały („co najwyżej”, „co najmniej”, „między”), więc P(X ≤ x) i P(X < x) są takie same.

Jak znaleźć wartość dla prawdopodobieństwa, np. granicę 95 %?

Wybierz „Kwantyl” i wpisz μ, σ oraz p = 95. Kalkulator poda wartość x, poniżej której leży 95 % rozkładu. Dla standardowego rozkładu normalnego to 1,645, a dla 97,5 % jest to 1,96.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: · Zasady redakcyjne

Podobne narzędzia