Théorème de Bayes calculateur
Ce théorème de Bayes calculateur montre quelle est la probabilité réelle d’une hypothèse A après un test ou un indice B. Exemple : avec 1 % de taux de base, 90 % de sensibilité et 9 % de faux positifs, un résultat positif n’est un vrai positif que dans 9,17 % des cas.
Exemple : Taux de base P(A) 1 % · Sensibilité P(B|A) 90 % · Taux de faux positifs P(B|¬A) 9 % → Probabilité de A après un résultat positif : P(A|B) = 9,17 %. Source : Wikipedia – Bayes’ theorem. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Le théorème de Bayes calcule la probabilité d’une hypothèse A une fois qu’un indice B a été observé. Il combine trois nombres : la fréquence de A sans test (taux de base), la capacité du test à détecter A (sensibilité) et la fréquence de ses fausses alertes (taux de faux positifs).
La formule
P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B), avec P(B) = P(B|A) · P(A) + P(B|¬A) · P(¬A). Le numérateur contient les vrais positifs, le dénominateur tous les résultats positifs.
Exemple : une maladie rare
1 % des personnes sont malades, le test la détecte dans 90 % des cas et réagit à tort chez 9 % des personnes saines. Sur 10 000 personnes, 100 sont malades et 90 d’entre elles sont positives. Parmi les 9 900 personnes saines, 891 sont positives. Cela fait 981 tests positifs, mais seulement 90 viennent de malades : 90 / 981 = 9,17 %. Malgré de bonnes valeurs, un résultat positif est donc le plus souvent une fausse alerte, car la maladie est très rare.
Erreur de raisonnement typique
On confond souvent P(B|A) (« test positif si malade ») avec P(A|B) (« malade si test positif »). Ce sont deux nombres différents, et le taux de base décide de leur écart. Les fréquences naturelles ci-dessus rendent la différence plus visible.
Rapport de vraisemblance
LR+ = sensibilité / taux de faux positifs indique de quel facteur un résultat positif augmente la cote de A. Dans l’exemple, LR+ = 10 : la cote passe de 1 : 99 à 10 : 99.
Questions fréquentes
Que dit le théorème de Bayes ?
Il calcule la probabilité de A quand B a été observé, à partir du taux de base de A et des taux de réaction de B lorsque A est vrai et lorsqu’il ne l’est pas.
Pourquoi un test positif pour une maladie rare est-il souvent une fausse alerte ?
Parce qu’il y a bien plus de personnes saines que de malades : même un petit taux de faux positifs produit, parmi les nombreuses personnes saines, plus de fausses alertes que de vrais positifs.
Quelle différence entre sensibilité et valeur prédictive positive ?
La sensibilité P(B|A) est le taux de détection chez les personnes touchées. La valeur prédictive positive P(A|B) indique le degré de certitude d’être touché après un test positif ; elle dépend du taux de base.
Que signifie la valeur prédictive négative ?
Elle indique le degré de certitude de ne pas être touché après un résultat négatif. Pour les affections rares, elle est en général très élevée.
À quoi sert le théorème de Bayes en dehors de la médecine ?
Par exemple aux filtres anti-spam, au contrôle qualité, aux alarmes ou aux expertises judiciaires : partout où un indice sujet à erreur pointe vers une cause rare.
Sources et références juridiques
- Wikipedia – Bayes’ theorem
- Gigerenzer, G., Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: Frequency formats. Psychological Review 102
- Wikipedia – Likelihood ratios in diagnostic testing
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