DE

Normalverteilung-Rechner

Der Normalverteilung-Rechner liefert zu Mittelwert μ und Standardabweichung σ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert höchstens, mindestens oder zwischen zwei Grenzen liegt. Beispiel: Bei IQ-Werten mit μ = 100 und σ = 15 liegen 97,72 % unter 130.

Beispiel: Was soll berechnet werden: P(X ≤ x): höchstens x · Mittelwert μ 100 · Standardabweichung σ 15 · Wert x (bzw. Grenze a) 130 → Wahrscheinlichkeit: P(X ≤ 130) = 97,725 %. Quelle: 1.3.6.6.1, NIST/SEMATECH e-Handbook – Normalverteilung (englisch). Stand: .

Erwartungswert der Verteilung
muss größer als 0 sein
Meine ToolboxIhre Eingaben werden nur in diesem Browser gespeichert.

Ergebnis

Wahrscheinlichkeit
P(X ≤ 130) = 97,725 %
Als Dezimalzahl
P(X ≤ 130) = 0,97725
z-Wert (Standardisierung)
z = (130 − 100) / 15 = 2
Gegenwahrscheinlichkeit
Das Gegenteil trifft zu mit: 2,275 %
Rechenweg
  • X ~ N(100; 15²)
  • z = (x − μ) / σ = 2
  • Φ(2) = 0,97725
  • f(130) = 0,003599398
Faustregel 68–95–99,7
  • μ ± 1σ (85 bis 115): 68,269 %
  • μ ± 2σ (70 bis 130): 95,45 %
  • μ ± 3σ (55 bis 145): 99,73 %

So wird gerechnet

Die Normalverteilung ist die glockenförmige Verteilung vieler Messgrößen wie Körpergröße, Messfehler oder IQ. Sie ist durch zwei Zahlen festgelegt: den Mittelwert μ (Gipfel der Glocke) und die Standardabweichung σ (Breite). Der Rechner bestimmt Flächen unter der Glockenkurve – das sind die Wahrscheinlichkeiten.

So rechnen Sie mit der Normalverteilung

  1. Standardisieren: z = (x − μ) / σ. Der z-Wert sagt, um wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt.
  2. Φ(z) ablesen: Φ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (früher aus der Tabelle, hier berechnet). Φ(1,96) = 0,975.
  3. Ergebnis kombinieren: höchstens x: Φ(z); mindestens x: 1 − Φ(z); zwischen a und b: Φ(z₂) − Φ(z₁).

Beispiel

Die Körpergröße erwachsener Männer sei normalverteilt mit μ = 180 cm und σ = 7 cm. Anteil unter 190 cm: z = (190 − 180) / 7 = 1,43, Φ(1,43) ≈ 0,924, also rund 92,4 %. Zwischen 173 und 187 cm liegen genau μ ± 1σ, das sind 68,27 %.

Die 68-95-99,7-Regel

Im Bereich μ ± 1σ liegen etwa 68,3 % aller Werte, bei μ ± 2σ rund 95,4 % und bei μ ± 3σ rund 99,7 %. Die Tabelle unter dem Ergebnis zeigt diese Bereiche für Ihre Zahlen.

Quantil: Von der Wahrscheinlichkeit zum Wert

Im Modus „Quantil“ geben Sie die Wahrscheinlichkeit vor und erhalten den Wert x, unter dem dieser Anteil liegt. Für 95 % und μ = 100, σ = 15 ergibt das x ≈ 124,67. Das ist die Umkehrfunktion von Φ (z. B. für Konfidenzintervalle und Grenzwerte).

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei der Normalverteilung?

Erst den Wert standardisieren: z = (x − μ) / σ. Dann Φ(z) aus der Standardnormalverteilung nehmen. Für „höchstens x“ ist das schon die Wahrscheinlichkeit, für „mindestens x“ rechnen Sie 1 − Φ(z), für ein Intervall Φ(z₂) − Φ(z₁).

Was ist der z-Wert?

Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert über (positiv) oder unter (negativ) dem Mittelwert liegt. Er macht Werte aus verschiedenen Normalverteilungen vergleichbar.

Was bedeutet die 68-95-99,7-Regel?

Bei einer Normalverteilung liegen rund 68,3 % der Werte höchstens eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt, 95,4 % höchstens zwei und 99,7 % höchstens drei.

Warum ist die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wert 0?

Die Normalverteilung ist stetig: Die Fläche unter der Kurve über einem einzelnen Punkt ist null. Sinnvoll sind nur Intervalle („höchstens“, „mindestens“, „zwischen“). Darum gibt es bei P(X ≤ x) und P(X < x) keinen Unterschied.

Wie finde ich den Wert zu einer Wahrscheinlichkeit, etwa die 95-%-Grenze?

Wählen Sie „Quantil“, tragen Sie μ, σ und p = 95 ein. Der Rechner liefert den Wert x, unter dem 95 % der Verteilung liegen. Bei der Standardnormalverteilung ist das 1,645, für 97,5 % ist es 1,96.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand: · So prüfen wir

Passende Werkzeuge