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正規分布の計算

正規分布の計算は、平均μと標準偏差σを入れるだけで、ある値が「以下」「以上」「2つの値の間」にある確率がわかります。例：μ＝100、σ＝15のIQでは、130未満が97.72％です。

計算例：求めるもの: P(X ≤ x)：x以下 · 平均 μ 100 · 標準偏差 σ 15 · 値 x（または下限 a） 130 → 確率：P(X ≤ 130) = 97.725%。出典：1.3.6.6.1, NIST/SEMATECH e-Handbook – Normal distribution。更新日：

分布の期待値
0より大きい値
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結果

確率
P(X ≤ 130) = 97.725%
小数で表した確率
P(X ≤ 130) = 0.97725
z値（標準化）
z = (130 − 100) / 15 = 2
余事象の確率
反対になる確率: 2.275%
途中式
  • X ~ N(100; 15²)
  • z = (x − μ) / σ = 2
  • Φ(2) = 0.97725
  • f(130) = 0.003599398
68-95-99.7の法則
  • μ ± 1σ（85〜115）：68.269%
  • μ ± 2σ（70〜130）：95.45%
  • μ ± 3σ（55〜145）：99.73%

計算方法

正規分布は、身長・測定誤差・IQなど多くの量が従う釣鐘型の分布です。平均μ（山の頂点）と標準偏差σ（広がり）の2つで決まります。このツールは釣鐘曲線の下の面積、つまり確率を求めます。

正規分布の計算手順

  1. 標準化：z = (x − μ) / σ。z値は、xが平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
  2. Φ(z)を求める：Φは標準正規分布の累積分布関数です（以前は表で調べましたが、ここでは計算します）。Φ(1.96) = 0.975。
  3. 組み合わせ：x以下はΦ(z)、x以上は1 − Φ(z)、aとbの間はΦ(z₂) − Φ(z₁)。

例

成人男性の身長がμ＝180cm、σ＝7cmの正規分布に従うとします。190cm未満の割合は z = (190 − 180) / 7 = 1.43、Φ(1.43) ≈ 0.924で、約92.4％です。173〜187cmはちょうどμ ± 1σで、68.27％にあたります。

68-95-99.7の法則

値の約68.3％がμ ± 1σ、約95.4％がμ ± 2σ、約99.7％がμ ± 3σの範囲に入ります。結果の下の一覧で、入力した数値に合わせた範囲を確認できます。

パーセント点：確率から値を求める

「パーセント点」モードでは、確率を入力すると、その割合が下側に収まるxがわかります。μ＝100、σ＝15で95％なら x ≈ 124.67 です。これはΦの逆関数で、信頼区間や基準値の算出に使います。

よくある質問

正規分布の確率はどう計算しますか？

まず z = (x − μ) / σ で標準化し、標準正規分布のΦ(z)を使います。「x以下」はΦ(z)そのもの、「x以上」は1 − Φ(z)、区間はΦ(z₂) − Φ(z₁)です。

z値とは何ですか？

値が平均より標準偏差何個分上（正）または下（負）にあるかを表す数です。異なる正規分布の値を比べられるようになります。

68-95-99.7の法則とは？

正規分布では、値の約68.3％が平均から標準偏差1個分以内、95.4％が2個分以内、99.7％が3個分以内に入るという目安です。

ちょうど1つの値になる確率が0なのはなぜですか？

正規分布は連続分布で、1点の上の面積はゼロだからです。意味があるのは「以下」「以上」「間」といった区間だけで、P(X ≤ x)とP(X < x)は同じ値になります。

95％の境目のように、確率から値を求めるには？

「パーセント点」を選び、μ・σ・p＝95を入力します。分布の95％がその下に入るxが表示されます。標準正規分布では1.645（97.5％なら1.96）です。

出典・根拠

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