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Poisson-Verteilung-Rechner

Der Poisson-Verteilung-Rechner gibt zur durchschnittlichen Anzahl λ die Wahrscheinlichkeit für k Ereignisse an. Beispiel: Kommen im Schnitt 3 Anrufe pro Minute, sind genau 2 Anrufe mit 22,4 % wahrscheinlich.

Beispiel: Rate λ (Erwartungswert) 3 · Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für …: genau k Ereignisse: P(X = k) · Anzahl k 2 → Wahrscheinlichkeit: P(X = 2) = 22,404 %. Quelle: 1.3.6.6.19, NIST/SEMATECH e-Handbook – Poisson-Verteilung (englisch). Stand: .

durchschnittliche Anzahl Ereignisse je Zeitraum oder Fläche, 0 bis 1000
ganze Zahl ab 0
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Ergebnis

Wahrscheinlichkeit
P(X = 2) = 22,404 %
Als Dezimalzahl
P(X = 2) = 0,224042
Kennwerte
Erwartungswert = Varianz = λ = 3; Standardabweichung = √λ = 1,732051
Gegenwahrscheinlichkeit
Das Gegenteil trifft zu mit: 77,596 %
Anschaulich
Etwa 1 von 4 Zeiträumen
Rechenweg
  • P(X = k) = λ^k · e^(−λ) / k! (λ = 3)
  • P(X = 2) = 3^2 · e^(−3) / 2! = 0,224042
Wertetabelle um den Erwartungswert
kP(X = k)P(X ≤ k)
00,0497870,049787
10,1493610,199148
20,2240420,42319
30,2240420,647232
40,1680310,815263
50,1008190,916082
60,0504090,966491
70,0216040,988095
80,0081020,996197
90,0027010,998898
100,000810,999708
110,0002210,999929

So wird gerechnet

Die Poisson-Verteilung beschreibt, wie oft ein seltenes Ereignis in einem festen Zeitraum oder Raum auftritt, wenn es im Schnitt λ-mal vorkommt und die Ereignisse unabhängig voneinander sind. Typische Fälle: Anrufe pro Minute, Tore pro Spiel, Tippfehler pro Seite, Schäden pro Jahr.

Die Formel

P(X = k) = λk · e−λ / k!. Erwartungswert und Varianz sind beide gleich λ. Für „höchstens k“ addiert man die Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k; „mindestens k“ ist 1 minus „höchstens k − 1“.

Beispiel

Ein Callcenter erhält im Schnitt 3 Anrufe pro Minute (λ = 3). Genau 2 Anrufe: 3² · e⁻³ / 2! = 0,2240, also 22,4 %. Mindestens 5 Anrufe: 1 − P(X ≤ 4) = 0,1847, also 18,5 %. Die Wertetabelle zeigt alle Einzel- und Summenwahrscheinlichkeiten rund um den Erwartungswert.

Wann passt die Poisson-Verteilung?

Für Wahrscheinlichkeiten mit festem n und p nutzen Sie den Rechner „Wahrscheinlichkeit berechnen“ (Binomial), für Messwerte mit Glockenkurve den Normalverteilung-Rechner.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Poisson-Wahrscheinlichkeit?

Mit P(X = k) = λ^k · e^(−λ) / k!. Sie brauchen nur die durchschnittliche Rate λ und die gewünschte Anzahl k. Für „höchstens“ oder „mindestens“ werden die Einzelwahrscheinlichkeiten addiert.

Was bedeutet λ bei der Poisson-Verteilung?

λ (Lambda) ist die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse im betrachteten Zeitraum oder Gebiet. Sie ist zugleich Erwartungswert und Varianz der Verteilung.

Wie berechne ich „mindestens k“?

Mindestens k ist das Gegenteil von „höchstens k − 1“: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Der Rechner summiert dafür die Einzelwahrscheinlichkeiten ohne Rundungsverlust.

Wann nimmt man Poisson statt Binomialverteilung?

Wenn die Zahl der Versuche sehr groß und die Einzelwahrscheinlichkeit sehr klein ist (Faustregel: n ≥ 50 und p ≤ 0,1) oder wenn es gar keine feste Versuchszahl gibt, sondern nur eine Rate pro Zeit.

Kann ich die Poisson-Verteilung für Fußballtore benutzen?

Als einfaches Modell ja: Mit der durchschnittlichen Torzahl je Spiel als λ erhalten Sie die Wahrscheinlichkeit für 0, 1, 2 … Tore. Es ist eine Näherung und keine Vorhersage.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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