Calcolatore distribuzione di Poisson

Questo calcolatore distribuzione di Poisson restituisce la probabilità di k eventi per un tasso medio λ. Esempio: con in media 3 chiamate al minuto, la probabilità di esattamente 2 chiamate è del 22,4 %.

Esempio: Tasso λ (valore atteso) 3 · Si cerca la probabilità di …: esattamente k eventi: P(X = k) · Numero k 2 → Probabilità: P(X = 2) = 22,404%. Fonte: 1.3.6.6.19, NIST/SEMATECH e-Handbook – Poisson distribution. Aggiornato al: 2 ottobre 2026.

Tasso λ (valore atteso)

numero medio di eventi per periodo o area, da 0 a 1000

Si cerca la probabilità di …

Numero k

numero intero da 0

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Risultato

Probabilità: P(X = 2) = 22,404%
In decimale: P(X = 2) = 0,224042
Valori caratteristici: Media = varianza = λ = 3; deviazione standard = √λ = 1,732051
Evento contrario: L’evento contrario ha probabilità: 77,596%
In parole semplici: Circa 1 periodo su 4
Passaggi: P(X = k) = λ^k · e^(−λ) / k! (λ = 3)
P(X = 2) = 3^2 · e^(−3) / 2! = 0,224042
Tabella di valori intorno alla media: k P(X = k) P(X ≤ k)
0 0,049787 0,049787
1 0,149361 0,199148
2 0,224042 0,42319
3 0,224042 0,647232
4 0,168031 0,815263
5 0,100819 0,916082
6 0,050409 0,966491
7 0,021604 0,988095
8 0,008102 0,996197
9 0,002701 0,998898
10 0,00081 0,999708
11 0,000221 0,999929

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	0,049787	0,049787
1	0,149361	0,199148
2	0,224042	0,42319
3	0,224042	0,647232
4	0,168031	0,815263
5	0,100819	0,916082
6	0,050409	0,966491
7	0,021604	0,988095
8	0,008102	0,996197
9	0,002701	0,998898
10	0,00081	0,999708
11	0,000221	0,999929

Come si calcola

La distribuzione di Poisson descrive quante volte un evento raro si verifica in un periodo o spazio fisso, quando accade in media λ volte e gli eventi sono indipendenti. Casi tipici: chiamate al minuto, gol a partita, refusi per pagina, sinistri all’anno.

La formula

P(X = k) = λ^k · e^−λ / k!. Media e varianza sono entrambe uguali a λ. Per «al massimo k» si sommano le probabilità da 0 a k; «almeno k» è 1 meno «al massimo k − 1».

Esempio

Un call center riceve in media 3 chiamate al minuto (λ = 3). Esattamente 2 chiamate: 3² · e⁻³ / 2! = 0,2240, cioè 22,4 %. Almeno 5 chiamate: 1 − P(X ≤ 4) = 0,1847, cioè 18,5 %. La tabella mostra le probabilità singole e cumulate intorno alla media.

Quando va bene la distribuzione di Poisson?

Gli eventi si presentano uno alla volta e in modo indipendente.
Il tasso medio è costante nel periodo.
Più eventi nello stesso istante sono praticamente esclusi.
Come approssimazione della binomiale con molte prove n e piccola probabilità p, con λ = n · p.

Per probabilità con n e p fissi usa il calcolatore di probabilità (binomiale); per misure a campana il calcolatore di distribuzione normale.

Domande frequenti

Come si calcola una probabilità di Poisson?

Con P(X = k) = λ^k · e^(−λ) / k!. Servono solo il tasso medio λ e il numero k desiderato. Per «al massimo» o «almeno» si sommano le probabilità singole.

Che cosa significa λ nella distribuzione di Poisson?

λ (lambda) è il numero medio di eventi nel periodo o nell’area considerati. È allo stesso tempo media e varianza della distribuzione.

Come calcolo «almeno k»?

«Almeno k» è il contrario di «al massimo k − 1»: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Il calcolatore somma le probabilità singole senza perdita di arrotondamento.

Quando usare Poisson al posto della binomiale?

Quando il numero di prove è molto grande e la probabilità singola molto piccola (regola pratica: n ≥ 50 e p ≤ 0,1), oppure quando non c’è un numero fisso di prove ma solo un tasso nel tempo.

Posso usare Poisson per i gol nel calcio?

Come modello semplice sì: con la media dei gol a partita come λ ottieni la probabilità di 0, 1, 2 … gol. È un’approssimazione, non una previsione.

Fonti e riferimenti normativi

1.3.6.6.19: NIST/SEMATECH e-Handbook – Poisson distribution
DLMF §8: NIST Digital Library of Mathematical Functions – incomplete gamma function
Wikipedia – Poisson distribution

Aggiornato al: 2 ottobre 2026 · Principi editoriali