Calculateur de croissance exponentielle
Ce calculateur croissance exponentielle résout x(t) = x₀·(1 + r)^t pour la valeur finale, le taux ou la durée. Exemple : 1 000 avec 5 % par période atteignent 1 628,89 après 10 périodes ; le temps de doublement est d’environ 14,2 périodes.
Source : Wikipedia – Exponentielles Wachstum. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
La croissance exponentielle signifie qu’une quantité augmente du même pourcentage à chaque période. Elle s’accélère donc, car l’augmentation grandit elle aussi, comme pour les intérêts composés, les cultures de bactéries ou les cas de virus au début d’une vague.
Formule et transformations
Le modèle est x(t) = x₀ · (1 + r)^t avec la valeur initiale x₀, le taux r (en décimal) et le temps t. La valeur finale en découle directement. Le taux se déduit de r = (x(t) / x₀)^(1/t) − 1 et la durée de t = ln(x(t) / x₀) / ln(1 + r). Le temps de doublement vaut ln 2 / ln(1 + r) et ne dépend pas de la valeur initiale. Avec un taux négatif, la même formule décrit une décroissance exponentielle avec demi-vie.
Trois cas détaillés
Valeur finale : 1 000 à 5 % sur 10 périodes donnent 1 000 · 1,05¹⁰ ≈ 1 628,89. Taux : pour passer de 100 à 200 en 5 périodes, il faut 2^(1/5) − 1 ≈ 14,87 % par période. Durée : de 100 à 200 à 7 %, il faut ln 2 / ln 1,07 ≈ 10,24 périodes.
- Règle pratique des 72 : temps de doublement ≈ 72 / taux en pourcentage (à 7 %, environ 10,3).
- La croissance linéaire ajoute la même quantité à chaque période ; l’exponentielle multiplie par le même facteur.
- La valeur initiale doit être supérieure à 0, sinon il n’y a pas de rapport de croissance.
Questions fréquentes
Comment calculer une croissance exponentielle ?
Avec x(t) = x₀ · (1 + r)^t. Saisissez la valeur initiale, le taux par période en décimal et le nombre de périodes. Avec 1 000, 5 % et 10 périodes, on obtient environ 1 628,89.
Comment trouver le taux à partir de deux valeurs ?
Divisez la valeur finale par la valeur initiale, prenez la racine t-ième et retranchez 1. De 100 à 200 en 5 périodes, cela donne environ 14,87 % par période.
En quoi le taux continu diffère-t-il ?
Le taux continu k = ln(1 + r) correspond à la forme x₀ · e^(k·t). Les deux formes donnent les mêmes valeurs ; k est inférieur à r, environ 0,0488 au lieu de 5 %.
Sources et références juridiques
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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