Exponentielles Wachstum Rechner
Dieser Exponentielles Wachstum Rechner löst x(t) = x₀·(1 + r)^t nach Endwert, Rate oder Dauer auf. Beispiel: 1.000 mit 5 % Wachstum pro Schritt ergeben nach 10 Schritten 1.628,89; die Verdopplungszeit beträgt etwa 14,2 Schritte.
Beispiel: Was soll berechnet werden: Endwert x(t) · Startwert x₀ 1.000 · Rate pro Zeitschritt 5 % · Anzahl Zeitschritte t 10 → Ergebnis: Endwert x(t) = 1.628,89 (Start 1.000, nach 10 Zeitschritten). Quelle: Wikipedia – Exponentielles Wachstum. Stand: .
So wird gerechnet
Exponentielles Wachstum bedeutet, dass sich ein Bestand pro Zeitschritt um denselben Prozentsatz vergrößert. Das Ergebnis wächst dadurch immer schneller, weil der Zuwachs selbst mitwächst – wie bei Zinseszins, Bakterienkulturen oder Viruszahlen am Anfang einer Welle.
Formel und Umstellungen
Es gilt x(t) = x₀ · (1 + r)^t mit Startwert x₀, Rate r (als Dezimalzahl) und Zeit t. Den Endwert liefert diese Formel direkt. Die Rate folgt aus r = (x(t) / x₀)^(1/t) − 1, die Dauer aus t = ln(x(t) / x₀) / ln(1 + r). Die Verdopplungszeit ist ln 2 / ln(1 + r) und unabhängig vom Startwert. Bei negativer Rate beschreibt dieselbe Formel exponentiellen Zerfall mit einer Halbwertszeit.
Drei durchgerechnete Fälle
Endwert: 1.000 bei 5 % über 10 Schritte ergeben 1.000 · 1,05¹⁰ ≈ 1.628,89. Rate: Soll sich ein Wert in 5 Schritten von 100 auf 200 verdoppeln, braucht es 2^(1/5) − 1 ≈ 14,87 % je Schritt. Dauer: Von 100 auf 200 bei 7 % dauert es ln 2 / ln 1,07 ≈ 10,24 Schritte.
- Als Faustregel gilt die Regel der 72: Verdopplungszeit ≈ 72 / Rate in Prozent (bei 7 % etwa 10,3).
- Lineares Wachstum addiert pro Schritt immer dieselbe Zahl, exponentielles multipliziert mit demselben Faktor.
- Der Startwert muss größer als 0 sein, sonst gibt es kein Wachstumsverhältnis.
Häufige Fragen
Wie berechne ich exponentielles Wachstum?
Mit x(t) = x₀ · (1 + r)^t. Setzen Sie Startwert, Rate je Zeitschritt als Dezimalzahl und die Zahl der Schritte ein. Bei 1.000, 5 % und 10 Schritten sind es etwa 1.628,89.
Wie bestimme ich die Wachstumsrate aus zwei Werten?
Teilen Sie Endwert durch Startwert, ziehen Sie die t-te Wurzel und subtrahieren Sie 1. Von 100 auf 200 in 5 Schritten ergibt das rund 14,87 % je Schritt.
Was ist der Unterschied zur stetigen Rate?
Die stetige Rate k = ln(1 + r) gehört zur Schreibweise x₀ · e^(k·t). Beide Darstellungen liefern dieselben Werte; k ist kleiner als r, etwa 0,0488 statt 5 %.
Quellen und Rechtsgrundlagen
Stand: · So prüfen wir
Passende Werkzeuge
- ZinseszinsrechnerZinseszinsrechner: Endkapital aus Startkapital, Sparrate, Dynamik und Zins – mit Abgeltungsteuer, Kaufkraft nach Inflation, Zeit bis zum Ziel, Jahrestabelle.
- Halbwertszeit-RechnerHalbwertszeit berechnen mit der Formel T½ = ln 2 / λ: auch Restmenge, Anfangsmenge oder Zeit – Schritt für Schritt mit Rechenweg. Beispiel: C-14 (5700 Jahre).
- Logarithmus berechnenLogarithmus berechnen für jede Basis: log, ln, lg und lb mit Basiswechsel-Rechenweg, Probe und Einordnung zwischen zwei ganzen Zahlen – direkt online.
- Verdopplungszeit berechnen (Regel von 72)Verdopplungszeit berechnen: Wie lange dauert es, bis sich Geld bei einem Zinssatz verdoppelt? Regel von 72 und exakte Rechnung im Vergleich.
- ProzentrechnerProzentrechner online: Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz berechnen, prozentuale Veränderung, Aufschlag und Rabatt – mit Formel und Rechenweg.
- Potenzrechner mit RechenwegPotenzen, n-te Wurzeln und Logarithmen online berechnen – mit Rechenweg, negativen und gebrochenen Exponenten, ln, lg und wissenschaftlicher Schreibweise.
- Taschenrechner onlineKostenloser Online-Taschenrechner: tippen oder klicken, Ergebnis sofort – mit Punkt-vor-Strich, Klammern, Prozent, Wurzel, Rechenweg und Verlauf.
- Newtonsches AbkühlungsgesetzNewtonsches Abkühlungsgesetz: Temperatur nach einer Zeit, Zeit bis zur Zieltemperatur oder Abkühlungskonstante berechnen, mit Formel und Rechenbeispiel.
- Strahlensatz berechnenStrahlensatz berechnen: Fehlende Strecken aus drei Angaben, nach erstem und zweitem Strahlensatz, mit Verhältnis, Rechenweg und Parallelen-Probe.