Nombre heureux : tester un nombre
Est-ce un nombre heureux ? Saisissez un entier : l’outil calcule encore et encore la somme des carrés de ses chiffres, affiche chaque étape, indique si la suite finit à 1 et liste tous les nombres heureux jusqu’à la limite choisie.
Exemple : Nombre à tester 19 · Lister les nombres heureux jusqu’à 100 → Résultat : 19 est un nombre premier heureux : il atteint 1 en 4 étapes.. Source : OEIS A007770, Happy numbers: trajectory under the sum of squares of digits map (A003132) includes 1; b-file with 143 071 terms up to 1 000 000 (read 15.10.2026). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Un nombre heureux atteint 1 quand on le remplace sans cesse par la somme des carrés de ses chiffres. 19 est heureux : 1² + 9² = 82, 8² + 2² = 68, 6² + 8² = 100, 1² + 0² + 0² = 1. Tous les autres finissent dans le cycle 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 et sont dits malheureux.
Exemples
| Nombre | Suite | Résultat |
|---|---|---|
| 7 | 7 → 49 → 97 → 130 → 10 → 1 | heureux en 5 étapes |
| 19 | 19 → 82 → 68 → 100 → 1 | heureux en 4 étapes |
| 23 | 23 → 13 → 10 → 1 | heureux en 3 étapes |
| 4 | 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 | malheureux (cycle) |
Le nombre d’étapes s’appelle la hauteur. L’ordre des chiffres et les zéros ne changent rien, car la somme des carrés reste la même : 19, 91 et 109 sont tous heureux.
Combien y en a-t-il ?
- 20 nombres heureux jusqu’à 100 : 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100.
- 143 jusqu’à 1 000 et 143 071 jusqu’à 1 000 000 (fichier b de l’OEIS), soit environ un sur sept.
- Les nombres premiers heureux sont à la fois heureux et premiers : 7, 13, 19, 23, 31…
D’autres jeux de chiffres et de suites : la suite de Syracuse et la somme des chiffres.
Pourquoi tout nombre finit à 1 ou dans le cycle
Un nombre de quatre chiffres ou plus diminue toujours en une étape (9999 ne donne que 4 × 81 = 324). La suite passe donc vite sous 1 000 et doit se répéter. En vérifiant toutes ces valeurs, on ne trouve que deux fins : le point fixe 1 ou le cycle de huit nombres passant par 4.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un nombre heureux ?
Un nombre qui atteint 1 quand on le remplace sans cesse par la somme des carrés de ses chiffres. 7 est heureux : 7 → 49 → 97 → 130 → 10 → 1.
4 est-il un nombre heureux ?
Non. 4 mène à 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 puis revient à 4 : c’est le cycle où finit tout nombre malheureux.
Combien y a-t-il de nombres heureux jusqu’à 100 ?
20, de 1, 7 et 10 jusqu’à 97 et 100. Jusqu’à 1 000, il y en a 143.
Qu’est-ce qu’un nombre premier heureux ?
Un nombre à la fois heureux et premier, par exemple 7, 13, 19, 23, 31 et 79.
Comment écrire l’algorithme du nombre heureux ?
Répéter : remplacer n par la somme des carrés de ses chiffres, jusqu’à obtenir 1 (heureux) ou 4 (malheureux, car 4 appartient au cycle).
Sources et références juridiques
- OEIS A007770, Happy numbers: trajectory under the sum of squares of digits map (A003132) includes 1; b-file with 143 071 terms up to 1 000 000 (read 15.10.2026)
- Wikipedia, Happy number: unhappy numbers end in the cycle 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4; 143 happy numbers up to 1000 (read 15.10.2026)
- Wikipedia (de), Fröhliche Zahl: German term “fröhliche Zahl” for happy number, single eight-number cycle 4 → … → 4 (read 15.10.2026)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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