Calcul de la demi-vie
Choisissez l’inconnue et saisissez les autres valeurs. Le calcul applique la loi N = N₀ · (1/2)^(t/T½), détaille chaque étape et donne un tableau de ce qui reste après 1 à 10 demi-vies.
Comment le calcul est fait
La loi de décroissance radioactive
La demi-vie T½ (ou période) est la durée au bout de laquelle la moitié d’une quantité a disparu. Après deux demi-vies, il en reste un quart ; après trois, un huitième. D’où la loi de décroissance exponentielle :
N(t) = N₀ · (1/2)^(t / T½) = N₀ · e^(−λt)
N₀ est la quantité initiale, N la quantité restante au bout de la durée t. Grammes, becquerels, nombre de noyaux ou mg/L : peu importe, tant que N et N₀ ont la même unité.
Isoler chaque grandeur
| Inconnue | Formule |
|---|---|
| Quantité restante | N = N₀ · (1/2)^(t / T½) |
| Quantité initiale | N₀ = N · 2^(t / T½) |
| Durée | t = T½ · ln(N₀ / N) / ln 2 |
| Demi-vie | T½ = t · ln 2 / ln(N₀ / N) |
| Constante radioactive | λ = ln 2 / T½ ≈ 0,693147 / T½ |
| Durée de vie moyenne | τ = 1 / λ = T½ / ln 2 ≈ 1,4427 · T½ |
Exemple : datation au carbone 14
La demi-vie du carbone 14 est de 5 700 ans. Un échantillon de bois contient encore 25 % de son C-14 d’origine. Quel est son âge ?
- Rapport : N₀ / N = 100 / 25 = 4
- t = 5 700 · ln 4 / ln 2 = 5 700 · 2 = 11 400 ans
- Constante radioactive : λ = 0,693147 / 5 700 ≈ 1,21605 · 10⁻⁴ par an
- Durée de vie moyenne : τ = 5 700 / 0,693147 ≈ 8 223 ans
Dans l’autre sens : que reste-t-il de 80 mg d’iode 131 (T½ = 8,0252 jours) après 30 jours ? t / T½ = 30 / 8,0252 ≈ 3,738, donc N = 80 · 0,5^3,738 ≈ 5,99 mg.
Durée de vie moyenne et constante radioactive
La constante λ indique la fraction qui se désintègre par unité de temps (sur de courts intervalles). La durée de vie moyenne τ est le temps moyen avant la désintégration d’un noyau : environ 44 % de plus que la demi-vie. Après τ, il reste 1/e ≈ 36,8 %.
Demi-vie des médicaments
L’élimination de nombreux médicaments suit à peu près une cinétique d’ordre 1 ; la même formule s’applique alors. En règle générale, une substance est en grande partie éliminée après 4 à 5 demi-vies (il reste 3,125 % après 5). Certaines, comme l’alcool, sont éliminées à vitesse constante : ce modèle ne convient pas. Cet outil ne remplace pas l’avis d’un médecin ou d’un pharmacien.
Utile pour les calculs de décroissance : les puissances comme (1/2)^n avec la calculatrice de puissances, les très petites ou grandes valeurs avec le convertisseur en notation scientifique, et les données des éléments dans le tableau périodique.
Questions fréquentes
Comment calculer une demi-vie ?
À partir de N₀, N et de la durée t : T½ = t · ln 2 / ln(N₀/N). Exemple : 100 g tombent à 12,5 g en 6 heures → N₀/N = 8, ln 8 / ln 2 = 3, donc T½ = 6 h / 3 = 2 h.
Que reste-t-il après 3 demi-vies ?
(1/2)³ = 1/8 = 12,5 %. De façon générale, il reste 0,5^k après k demi-vies : 3,125 % après 5, un peu moins de 0,1 % après 10.
Quelle différence entre demi-vie et durée de vie moyenne ?
La demi-vie est le temps pour atteindre la moitié ; la durée de vie moyenne τ est la durée de vie moyenne d’un noyau. τ = T½ / ln 2 ≈ 1,443 · T½ ; après τ, il reste environ 36,8 %.
Quel lien entre constante radioactive et demi-vie ?
λ = ln 2 / T½. Pour le carbone 14 (5 700 ans), λ ≈ 1,216 · 10⁻⁴ par an. Plus la demi-vie est courte, plus λ est grande et plus l’activité est élevée.
Comment fonctionne la datation au carbone 14 ?
Les êtres vivants absorbent du C-14 ; après la mort, il décroît avec une demi-vie de 5 700 ans. La fraction restante donne l’âge : t = 5 700 · ln(N₀/N) / ln 2. 50 % restants = 5 700 ans, 25 % = 11 400 ans. Les datations réelles sont en plus calibrées.
Puis-je l’utiliser pour un médicament ?
Pour une estimation, oui, si le médicament suit une cinétique d’ordre 1 : avec la demi-vie indiquée dans la notice, vous voyez ce qui reste en théorie après un certain temps. Ce n’est pas un avis médical : pour la posologie, demandez à votre médecin ou pharmacien.
Sources et références juridiques
- AIEA, section des données nucléaires – LiveChart of Nuclides (périodes, ENSDF)
- NNDC (Brookhaven National Laboratory) – NuDat 3 (C-14: 5700 ± 30 a)
- Brochure SI, 9e éd. (2019): BIPM – Brochure sur le SI, tableau 8 : min, h, d
- NIST SP 811: NIST SP 811 (2008), §8.1 and App. B.8: symbol a, tropical year = 3.155 693 × 10⁷ s
- DLMF §4.2: NIST Digital Library of Mathematical Functions §4.2 (logarithm, exponential)
- MSD Manual Professional – Drug Metabolism (first-order kinetics, drug half-life)
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