Wzrost wykładniczy kalkulator
Ten wzrost wykładniczy kalkulator rozwiązuje x(t) = x₀·(1 + r)^t dla wartości końcowej, tempa wzrostu lub czasu. Przykład: 1000 przy wzroście 5 % na okres daje po 10 okresach 1628,89; czas podwojenia wynosi około 14,2 okresu.
Przykład: Co obliczyć: Wartość końcowa x(t) · Wartość początkowa x₀ 1000 · Tempo na okres 5 % · Liczba okresów t 10 → Wynik: Wartość końcowa x(t) = 1628,89 (start 1000, po 10 okresach). Źródło: Wikipedia – Exponentielles Wachstum. Stan na: .
Jak to obliczamy
Wzrost wykładniczy oznacza, że wielkość rośnie w każdym okresie o ten sam procent. Dlatego przyspiesza: sam przyrost też rośnie, jak przy procencie składanym, hodowlach bakterii czy liczbie zakażeń na początku fali.
Wzór i przekształcenia
Model to x(t) = x₀ · (1 + r)^t, gdzie x₀ to wartość początkowa, r tempo (ułamek dziesiętny), a t czas. Wartość końcowa wynika wprost. Tempo obliczysz z r = (x(t) / x₀)^(1/t) − 1, a czas z t = ln(x(t) / x₀) / ln(1 + r). Czas podwojenia to ln 2 / ln(1 + r) i nie zależy od wartości początkowej. Przy ujemnym tempie ten sam wzór opisuje wykładniczy zanik z okresem półtrwania.
Trzy przykłady
Wartość końcowa: 1000 przy 5 % przez 10 okresów daje 1000 · 1,05¹⁰ ≈ 1628,89. Tempo: aby w 5 okresach urosnąć ze 100 do 200, potrzeba 2^(1/5) − 1 ≈ 14,87 % na okres. Czas: ze 100 do 200 przy 7 % trwa to ln 2 / ln 1,07 ≈ 10,24 okresu.
- Reguła 72: czas podwojenia ≈ 72 / tempo w procentach (przy 7 % około 10,3).
- Wzrost liniowy dodaje w każdym okresie tyle samo, wykładniczy mnoży przez ten sam czynnik.
- Wartość początkowa musi być większa niż 0, inaczej nie ma stosunku wzrostu.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć wzrost wykładniczy?
Wzorem x(t) = x₀ · (1 + r)^t. Podstaw wartość początkową, tempo na okres jako ułamek dziesiętny i liczbę okresów. Dla 1000, 5 % i 10 okresów wychodzi około 1628,89.
Jak wyznaczyć tempo wzrostu z dwóch wartości?
Podziel wartość końcową przez początkową, wyciągnij pierwiastek stopnia t i odejmij 1. Od 100 do 200 w 5 okresach to około 14,87 % na okres.
Czym różni się tempo ciągłe?
Tempo ciągłe k = ln(1 + r) odpowiada zapisowi x₀ · e^(k·t). Obie formy dają te same wartości; k jest mniejsze od r, około 0,0488 zamiast 5 %.
Źródła i podstawa prawna
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Kalkulator procentu składanegoKalkulator procentu składanego z wpłatami miesięcznymi: kapitał końcowy, odsetki, wartość po inflacji, czas do celu, wykres i tabela rok po roku.
- Kalkulator okresu połowicznego rozpaduOblicz okres połowicznego rozpadu, ilość pozostałą, początkową lub czas – ze stałą rozpadu λ, średnim czasem życia i pełnym rozwiązaniem. C-14, I-131 i inne.
- Logarytm kalkulatorLogarytm kalkulator dla dowolnej podstawy: log, ln, log10 i log2 ze zmianą podstawy krok po kroku, sprawdzeniem i oszacowaniem między liczbami całkowitymi.
- Reguła 72Reguła 72: oblicz, po ilu latach kapitał się podwoi przy danym oprocentowaniu, porównaj z dokładnym wynikiem albo wylicz potrzebne oprocentowanie. Za darmo.
- Kalkulator procentowyDarmowy kalkulator procentowy: oblicz X% z liczby, jakim procentem jednej liczby jest druga, zmianę procentową, podwyżkę i rabat – ze wzorem i krokami.
- Kalkulator potęg krok po krokuKalkulator potęg: oblicz potęgi, pierwiastki n-tego stopnia i logarytmy o dowolnej podstawie – krok po kroku, także z wykładnikiem ujemnym i ułamkowym.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Magnituda trzęsienia ziemi: ile razy silniejsze?Magnituda trzęsienia ziemi – porównaj dwie wartości: ile razy więcej energii (ok. 32 razy na stopień, 1000 razy na dwa) i ile razy większa amplituda drgań.
- Prawo stygnięcia NewtonaPrawo stygnięcia Newtona: oblicz temperaturę po danym czasie, czas do temperatury docelowej albo stałą stygnięcia – ze wzorem i rozwiązanym przykładem.